2025年安徽省皖江联盟数学高一上期末考试试题含解析.doc

2025年安徽省皖江联盟数学高一上期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数的定义域是，则函数值域为（ ）
A. B.
C. D.
2．下列函数中，在区间上是增函数是
A. B.
C. D.
3．已知函数则函数值域是（）
A. B.
C. D.
4．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（）
A. B.1
C. D.2
5．设函数则　　
A.1 B.4
C.5 D.9
6．如图所示，在中，D、E分别为线段、上的两点，且，，，则的值为（ ）.

A. B.
C. D.
7．若log2a<0，，则(　　)
A.a>1，b>0 B.a>1，b<0
C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0
8．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是
A. B.
C. D.
9．已知函数（），对于给定的一个实数，点的坐标可能是（）
A.(2，1) B.(2，-2)
C.(2，-1) D.(2，0)
10．函数（为自然对数的底）的零点所在的区间为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则______
12．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.
13．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200

f(1.587 5)≈0.133

f(1.575 0)≈0.067

f(1.562 5)≈0.003

f(1.556 2)≈－0.029

f(1.550 0)≈－0.060

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
14．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为________.

15．正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是__

16．若，，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）证明：；
（2）若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则称函数具有性质P，判断函数是否具有性质P，并证明你的结论；
（3）设点，函数．设点B是曲线上任意一点，求线段AB长度的最小值
18．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
19．如图，在矩形ABCD中，边AB所在的直线方程的斜率为2，点C（2，0）．求直线BC的方程

20．画出函数f(x)=|log3x|的图像，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值.
21．已知关于一元二次不等式的解集为.
（1）求函数的最小值；
（2）求关于的一元二次不等式的解集.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，
，
即.
故选：A
2、A
【解析】由题意得函数在上为增函数，函数在上都为减函数．选A
3、B
【解析】结合分段函数的单调性来求得的值域.
【详解】当吋，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.
故选：B
4、C
【解析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意，在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
5、C
【解析】根据题意，由函数的解析式求出与的值，相加即可得答案
【详解】根据题意，函数，
则，
又由，
则，
则；
故选C
【点睛】本题考查对数的运算，及函数求值问题，其中解答中熟记对数的运算，以及合理利用分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题
6、C
【解析】由向量的线性运算可得＝+，可得，又A，M，D三点共线，则存在b∈R，使得，则可建立关于a，b的方程组，即可求得a值，从而可得λ，μ，进而得解
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，
所以，
又A，M，D三点共线，则存在b∈R，
使得，
所以，解得，
所以，
因为，
所以由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，
所以λ+μ＝
故选：C
7、D
【解析】，则；，则，故选D
8、D
【解析】分析：利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可.
详解：对于A中，函数是定义域内的非奇非偶函数，所以不满足题意；
对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，所以不满足题意；
对于C中，函数是定义域内的偶函数，所以不满足题意；
对于D中，函数是定义域内的奇函数，也是增函数，所以满足题意，
故选D.
点睛：本题主要考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判定问题，其中熟记基本初等函数的单调性和奇偶性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
9、D
【解析】直接代入，利用为奇函数的性质，得到整体的和为定值.
【详解】易知是奇函数，则

即的横坐标与纵坐标之和为定值2.
故选：D.
10、B
【解析】分析：先判断函数的单调性，然后结合选项，利用零点的存在定理，即可求解.
详解：由题意，函数为单调递减函数，
又因为，
由函数的零点判断可知，函数的零点在区间，故选B.
点睛：本题主要考查了函数的零点的判定定理及应用，其中熟记函数的零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由二倍角公式，商数关系得，再由诱导公式、商数关系变形求值式，代入已知可得
【详解】，所以，

故答案为：
12、
【解析】如图，过点B作与，连，则有平面，从而得，所以即为二面角的平面角

在中，，
所以,
所以锐角
即二面角的平面角的大小为
答案：
点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通过解三角形的方法求得角，解题时要注意所求角的范围
13、56
【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
14、
【解析】根据三角函数的图象，求出函数的周期，进而求出和即可得到结论
【详解】由图象得，，
则周期，
则，
则，
当时，，
则，
即
即，
即，，
，
当时，，
则函数的解析式为，
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象求出， 和的值是解决本题的关键
15、（，+∞）
【解析】由正三棱锥可得四边形EFGH为矩形，并可得其边长与三棱锥棱长关系，从而可得面积S的范围.
【详解】∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥
∴AB⊥PC

又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，
∴EH//FG//AB 且EH＝FGAB，
EF//HG //PC且EF＝HGPC
则四边形EFGH为一个矩形
又∵PC，∴EF，
∴S= EFEH，
∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（，+∞），
故答案为:（，+∞）
三、
16、
【解析】，然后可算出的值，然后可得答案.
【详解】因为，，
所以，所以，
所以，，因为，所以，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）函数具有性质P，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）直接利用对数的运算求解；
（2）取函数图象上四个点，证明函数具有性质P；
（3）设（或），求出,再换元利用二次函数求函数的最值得解.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：由（1）知，的图象关于点中心对称，
取函数图象上两点，，显然线段CD的中点恰为点M；
再取函数图象上两点，，显然线段EF的中点也恰为点M
因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形，
所以函数具有性质P
小问3详解】
解：，则（或），
则
，
记（或），则，
记，则，
所以，当，即时，
18、（1）
（2）选①或.选②③或.
【解析】（1）分别求出两个集合，再根据并集的运算即可得解；
（2）选①，根据，得，分和两种情况讨论即可得解.
选②，根据，得，分和两种情况讨论即可得解.
选③，根据，分和两种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
解：当时，，
，
所以；
【小问2详解】
解：选①，
因为，所以，
当时，，解得；
当时，因为，
所以，解得，
综上所述，或.
选②，
因为，所以，或，
当时，，解得，符合题意；
当时，因为，
所以或，解得或，
综上所述，或.
选③，
当时，，解得，符合题意；
当时，因为，
所以或，解得或，
综上所述，或.
19、x+2y﹣2＝0
【解析】由矩形可知相邻两边垂直，可求出直线斜率，代入点，可求方程
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴AB⊥BC，
∴kAB•kBC＝﹣1
∴，
∴直线BC的方程为，即x+2y﹣2＝0
【点睛】本题考查直线垂直，和点斜式直线方程，属于基础题
20、图象见解析，值域为[0，+∞)，单调递增区间[1，+∞)，单调递减区间是(0，1)，最大值为2.
【解析】由于f(x)=|log3x|=所以在[1，+∞)上f(x)图像与y=log3x的图像相同，在(0，1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称，由此可画出函数的图像，再结合函数的图像可求出函数的值域和单调区间，及最值
【详解】因为f(x)=|log3x|=
所以在[1，+∞)上f(x)的图像与y=log3x的图像相同，在(0，1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称，据此可画出其图像，如图所示.

由图像可知，函数f(x)的值域为[0，+∞)，单调递增区间是[1，+∞)，单调递减区间是(0，1).
当x∈时，f(x)在区间上是单调递减的，在(1，6]上是单调递增的.
又f=2，f(6)=log36<2，
故f(x)在区间上的最大值为2.
【点睛】此题考查含绝对值对数型函数的图像和性质，考查数形结合的思想，属于基础题
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求的最小值；
（2）不等式化为，比较和的大小，即可得出不等式的解集.
【小问1详解】
因为关于一元二次不等式的解集为，
所以，化简可得：，解得：，
所以，
所以，
当且仅当即，的最小值为.
【小问2详解】
不等式，可化为，
因为，所以，
所以该不等式的解集为.