湖南省岳阳临湘市2025-2026学年数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

湖南省岳阳临湘市2025-2026学年数学高一上期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）
①；②；③；④
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
3．已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
4．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语：乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是（）
A.德语 B.法语
C.日语 D.英语
5．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是
A. B.
C. D.
7．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．函数的大致图像如图所示，则它的解析式是

A. B.
C. D.
9．函数的最大值是（）
A. B.1
C. D.2
10．地震以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级可定义为.在2021年3月下旬，地区发生里氏级地震，地区发生里氏7.3级地震，则地区地震所散发出来的相对能量是地区地震所散发出来的相对能量的（）倍.
A.7 B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设，则________.
12．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______
13．已知，则_________
14．放射性物质镭的某种同位素，每经过一年剩下的质量是原来的.若剩下的质量不足原来的一半，则至少需要（填整数） ____年.（参考数据：，)
15．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；
16．在正三角形中，是上的点，，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）若，求的取值范围.
18．证明：函数是奇函数.
19．记不等式的解集为A，不等式的解集为B.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
20．计算下列各式的值
（1）
（2）
21．（1）若是的根，求的值
（2）若，，且，，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】可分析单调递减,即将题目转化为在上单调递增,分别讨论与的情况,进而求解
【详解】由题可知单调递减,因为在上单调递减,则在上单调递增,
当时,在上单调递减,不符合题意,舍去；
当时,,解得,即
故选C
【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用,考查复合函数单调性问题,考查解不等式
2、D
【解析】对每个函【解析】判断奇偶性及单调性即可.
【详解】对于①，，奇函数，在和上分别单增，不满足条件；
对于②，，偶函数，不满足条件；
对于③，，奇函数，在R上单增，符合题意；
对于④，，奇函数，在R上单增，符合题意；
故选：D
3、D
【解析】根据单调性的定义可知函数在R上为增函数，即可得到，解出不等式组即可得到实数的取值范围
【详解】∵对任意实数，都有成立，
∴函数在R上为增函数，
∴，解得，∴实数的取值范围是
故选：D
4、B
【解析】根据题意，分“甲说对，乙、丙说错”、“乙说对，甲、丙说错”、“丙说对，甲、乙说错”三种情况进行分析，即可得到结果.
【详解】若甲说对，乙、丙说错：甲说对，小明不会法语也不会日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；丙说错，则小明不会德语，由此可知，小明四门外语都不会，不符合题意；
若乙说对，甲、丙说错：乙说对，则小明会英活或法语；甲说错，则小明会法语或日语；丙说错，小明不会德语；则小明会法语；
若丙说对，甲、乙说错：丙说对，则小明会德语；甲说错，到小明会法语或日语；乙说错，则小明不会英语也不会法语；则小明会德语或日语，不符合题意；综上，小明会法语.
故选：B.
5、C
【解析】根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案；
【详解】由题意得：，
故选：C
6、D
【解析】若，则，利用给出的解析式求出，再由奇函数的定义即，求出.
【详解】设，则，当时，，
，
函数是定义在上的奇函数，
，
，故选D .
【点睛】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题.本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为
7、C
【解析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.
8、D
【解析】由图易知：函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，排除A，B；
的图象为开口向上的抛物线，显然不适合，
故选D
点睛：识图常用方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题
9、C
【解析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.
【详解】
，
∵，∴函数的最大值是.
故选：C.
10、C
【解析】把两个震级代入后，两式作差即可解决此题
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏7.3级地震所散发出来的能量为，则①，②
②①得：，解得：
故选：

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】先求出，再求的值即可
【详解】解：由题意得，，
所以，
故答案为：2
12、
【解析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.
【详解】当时，即当时，由，可得；
当时，即当时，由，可得（舍）.
综上所述，函数的零点个数为.
故答案为：.
13、
【解析】两边同时取以15为底的对数，然后根据对数性质化简即可.
【详解】因为
所以，
所以，

故答案为：
14、
【解析】设所需的年数为，由已知条件可得，解该不等式即可得结论.
【详解】设所需的年数为，由已知条件可得，则.
因此，至少需要年.
故答案为：.
15、
【解析】由直线，即，此时直线恒过点，
则直线的斜率，直线的斜率，
若直线与线段相交，则，即，
所以实数的取值范围是
点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力
16、
【解析】根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）是奇函数，证明见解析
（2）
【解析】（1）先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义进行判定；
（2）先解关于的一元二次不等式得到，再利用对数函数的单调性转化为分式不等式进行求解.
【小问1详解】
解：是奇函数，证明如下：
令，即，
解得，即的定义域为；
对于任意，都有，
且，
即，
所以是奇函数.
【小问2详解】
解：因为，
所以，则，
即，所以，
因为，所以，
所以可化为，
解得，
即的取值范围为.
18、证明见解析
【解析】由奇偶性的定义证明即可得出结果.
【详解】中，，即，
的定义域为，关于原点对称，
,
，函数是奇函数.
19、（1）
（2）
【解析】（1）分别求出集合，再求并集即可.
（2）分别求出集合和的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.
【详解】（1）当时，
的解为或

（2）

a的取值范围为
20、（1）；
（2）1.
【解析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简计算即得；
（2）利用同角关系式、辅助角公式可得原式，再利用诱导公式及二倍角公式，化简计算即得.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式

.
21、（1）；（2）
【解析】（1）先求出，再通过诱导公式及切化弦化简原式后再代值即可；
（2）通过角的范围及已知的三角函数值求出和，再运用正弦的两角差的公式计算即可.
【详解】（1）方程解得或，因为为其解，所以.
则原式

由于，
所以原式.
（2）因为，所以，
又因为，所以，
因为，，可得，
又，可得，
而
.