2026届黑龙江省哈尔滨六中高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2026届黑龙江省哈尔滨六中高一数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，且，则的值为（　　）
A.1 B.2
C. D.3
2．下列函数中，是幂函数的是（）
A. B.
C. D.
3．关于函数，下列说法正确的是（）
A.最小值为0 B.函数为奇函数
C.函数是周期为周期函数 D.函数在区间上单调递减
4．已知函数满足，则（）
A. B.
C. D.
5．已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为
A. B.
C. D.
6． “是第一或第二象限角”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．计算
A.-2 B.-1
C.0 D.1
8．设函数，则下列结论不正确的是（）
A.函数的值域是；
B.点是函数的图像的一个对称中心；
C.直线是函数的图像的一条对称轴；
D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数
9．将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点仍在函数的图象上，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
10．已知集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|0<x-1<3}，则A∩B=（ ）
A. B.{2，3}
C.{1，2，3} D.{2，3，4}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若幂函数的图象过点，则___________.
12．已知是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则___________.
13．直线与直线平行，则__________
14．设为向量的夹角，且，，则的取值范围是_____.
15．已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是______
16．下列说法中，所有正确说法的序号是_____
终边落在轴上的角的集合是； 
函数图象与轴的一个交点是；
函数在第一象限是增函数；
若，则
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数
（1）设，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间
18．已知函数，
（1）求在上的最小值；
（2）记集合，，若，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）求的值；你能发现与有什么关系？写出你的发现并加以证明：
（2）试判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
20．在中，，记，且为正实数），
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小
21．已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）画出在上的图象
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解
【详解】由题意可得 ，即
∴，
故选A
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切
2、B
【解析】根据幂函数的定义辨析即可
【详解】根据幂函数的形式可判断B正确，A为一次函数，C为指数函数，D为对数函数
故选：B
3、D
【解析】根据三角函数的性质，得到的最小值为，可判定A不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定C不正确；举例可判定C不正确；根据三角函数的单调性，可判定D正确.
【详解】由题意，函数，
当时，可得，所以，
当时，可得，所以，
所以函数的最小值为，所以A不正确；
又由，所以函数为偶函数，所以B不正确；
因为，，所以，
所以不是的周期，所以C不正确；
当时，，，
当时，，即函数在区间上单调递减，
又因为，所以函数在区间上单调递减，
所以D正确.
故选：D.
4、B
【解析】根据二次函数的对称轴、开口方向确定正确选项.
【详解】依题意可知，二次函数的开口向下，对称轴，
，
在上递减，所以，即.
故选：B
5、A
【解析】
所求的全面积之比为： ，故选A.
6、A
【解析】利用充分必要条件的定义判断.
【详解】若角的终边在第一或第二象限，则，反过来，若，则的终边可能在第一或第二象限，也有可能在轴正半轴上.
所以“是第一或第二象限角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7、C
【解析】.
故选C.
8、B
【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】解：因为，，
所以，即函数的值域是，故A正确；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
因为，所以函数关于直线对称，故C正确；
将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；
故选：B
9、B
【解析】作出函数和直线图象，根据图象，利用数形结合方法可以得到的最小值.
【详解】画出函数和直线的图象如图所示，
是它们的三个相邻的交点.
由图可知，当在点，在点时，的值最小，
易知的横坐标分别为,所以的最小值为，
故选：B.

10、B
【解析】求解一元一次不等式化简，再由交集运算得答案
【详解】解：，2，3，，
，
，2，3，，
故选：

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、27
【解析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求,
【详解】设代入，即，所以，所以.
故答案为：27.
12、##
【解析】根据函数的周期和奇偶性即可求得答案.
【详解】因为函数的周期为2的奇函数，所以.
故答案为：.
13、3
【解析】时不满足条件，
直线与直线平行，

解得
14、
【解析】将平方可得cosθ，利用对勾函数性质可得最小值，从而得解.
【详解】两个不共线的向量，的夹角为θ，且，
可得：，
可得cosθ
那么cosθ的取值范围：
故答案为
【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量夹角的求法，考查计算能力，属于中档题.
15、
【解析】函数在区间内有3个零点，等价于函数和的图象在区间内有3个交点，作出函数和的图象，利用数形结合可得结果
【详解】
若，则，
，

若，则，
，

若，则，
，
，，，，
设和，则方程在区间内有3个不等实根，
等价为函数和在区间内有3个不同的零点
作出函数和的图象，如图，
当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，
当直线经过点，时，两个图象有3个交点；
当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，
当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，
要使方程，两个图象有3个交点，
在区间内有3个不等实根，
则 ，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的个数的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题
16、
【解析】取值验证可判断；直接验证可判断；根据第一象限的概念可判断；由诱导公式化简可判断.
【详解】中，取时，的终边在x轴上，故错误；
中，当时，，故正确；
中，第一象限角的集合为，显然在该范围内函数不单调；
中，因为，所以，
所以，故正确.
故答案为：②④

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2），
【解析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数的图像特性即可求其最大值和最小值；
(2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.
【小问1详解】
，
∵，，
∴，
∴函数最大值为，最小值为
【小问2详解】
，
∵该函数为偶函数，∴，得，
又∵，∴k取0，，
∴，
令，解得，
从而得到其增区间为
18、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）按对称轴与区间的相对位置关系，分三种情况讨论求最小值；
（2）分与解不等式，再分析的情况即可求解.
【小问1详解】
解：（1）由，抛物线开口向上，对称轴为，
在上的最小值需考虑对称轴与区间的位置关系.
（i）当时，；
（ii）当时，；
（ⅲ）当时，
【小问2详解】
（2）解不等式，即，可得：
当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
（i）当时，要使不等式的解集与有交集，
由得：，
此时对称轴为，
∴只需，即，得.
所以此时
（ii）当时，要使不等式的解集与有交集，
由得：，
此时对称轴为，
∴只需，即，得.
所以此时无解.
综上所述，的取值范围.
19、（1），，与的关系：，证明见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】（1）通过函数解析式计算出，通过计算证明.
（2）通过来证得在区间上单调递减.
【小问1详解】
，

.
证明：.
.
【小问2详解】
在区间上递减.
证明如下：且

.
在上单调递减.
20、（1）证明见解析；（2）；（3）2，.
【解析】（1）由，得到，根据，即可求解；
（2）由，整理得，即可求得表达式；
（3）由（2）知，结合基本不等式，求得的最小值，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）在中，，可得，
所以，所以.
（2）由，可得，
即，整理得，
所以
（3）由（2）知，
因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为2，即，
此时，因为，可得，
又因为，此时为等边三角形，所以
【点睛】求平面向量的模的2种方法：
1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
21、 (1) ,(2)见解析
【解析】（1）计算,得到答案.
（2）计算函数值得到列表，再画出函数图像得到答案.
【详解】（1）令,，得,
即，.
故的单调递增区间为，.
（2）因为所以列表如下：

0

0

2
4
0

0
2

【点睛】本题考查了三角函数的单调性和图像，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.