2026届黑龙江省哈尔滨市阿城区二中高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2026届黑龙江省哈尔滨市阿城区二中高一数学第一学期期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．过点且平行于直线的直线方程为（）
A. B.
C. D.
2．满足的角的集合为（）
A. B.
C. D.
3．关于的方程的实数根的个数为（）
A.6 B.4
C.3 D.2
4．下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5．缪天荣，浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过年苦心研究，年，他成功研制出“对数视力表”及“分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统，使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“分记录法”将视力和视角（单位：）设定为对数关系：.如图，标准对数视力表中最大视标的视角为，则对应的视力为.若小明能看清的某行视标的大小是最大视标的（相应的视角为），取，则其视力用“分记录法”记录（）

A. B.
C. D.
6．四个变量y1，y2，y3，y4，随变量x变化的数据如下表：
x
1
2
4
6
8
10
12
y1
16
29
55
81
107
133
159
y2
1
9
82
735
6567
59055
531447
y3
1
8
64
216
512
1000
1728
y4
2.000
3.710
5.419
6.419
7.129
7.679
8.129
其中关于x近似呈指数增长的变量是（ ）
A. B.
C. D.
7． ＝
A.－ B.
C.－ D.
8．已知集合，若，则（）
A.-1 B.0
C.2 D.3
9．奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是.
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(1，＋∞)
10．设，，，则　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数，则______
12．已知，，则的值为___________.
13．已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数值是____________
14．函数的单调递增区间是___________.
15．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，乙以获胜的概率为______.
16．已知直线过点.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”
（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；
（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）
18．已知OPQ是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形，A是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形内的内接矩形，记∠AOP＝（0＜＜θ）

（1）用表示矩形ABCD的面积S；
（2）若θ＝，求当取何值时，矩形面积S最大？并求出这个最大面积
19．证明：函数是奇函数.
20．已知
若，求方程的解；
若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根、：
求实数k的取值范围；
证明：
21．已知圆经过,两点,且圆心在直线：上.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若点在直线：上,过点作圆的一条切线,为切点,求切线长的最小值；
（Ⅲ）已知点为,若在直线：上存在定点（不同于点）,满足对于圆上任意一点,都有为一定值,求所有满足条件点的坐标.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.
【详解】解：设直线的方程为，
把点坐标代入直线方程得.
所以所求的直线方程为.
故选：A
2、D
【解析】利用正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】.
故选：D.
3、D
【解析】转化为求或的实根个数之和，再构造函数可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以或，
令，则或，
因为为增函数，且的值域为，
所以和都有且只有一个实根，且两个实根不相等，
所以原方程的实根的个数为.
故选：D
4、A
【解析】根据指数函数的性质一一判断可得；
【详解】解：对于A：在定义域上单调递减，所以，故A正确；
对于B：在定义域上单调递增，所以，故B错误；
对于C：因为，，所以，故C错误；
对于D：因为，，即，所以，故D错误；
故选：A
5、C
【解析】将代入，求出的值，即可得解.
【详解】将代入函数解析式可得.
故选：C.
6、B
【解析】根据表格中的数据，四个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，
【详解】根据表格中的数据，四个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，符合指数函数的增长特点.
故选：B
7、A
【解析】.
考点：诱导公式
8、C
【解析】根据元素与集合的关系列方程求解即可.
【详解】因为，所以或，
而无实数解，所以.
故选：C
9、A
【解析】考点：奇偶性与单调性的综合
分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果

解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）
故选A
10、C
【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较，，与1和2的大小得答案
【详解】∵，且，
，，
∴
故选C
【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，寻找中间量是解题的关键，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##0.5
【解析】首先计算，从而得到，即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
12、
【解析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商数关系，将目标式化为即可求值.
【详解】.
故答案为：.
13、1或-1
【解析】令x=0，得y=k；令y=0，得x=−2k.
∴三角形面积S=|xy|=k2.
又S=1，即k2=1，值是1或-1.
14、##
【解析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.
【详解】由得，解得，
所以函数的定义域为.
设内层函数，对称轴方程为，抛物线开口向下，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
外层函数为减函数，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
15、15
【解析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，根据相互独立事件概率公式计算可得；
【详解】解：依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，
其中发球方分别是甲、乙、甲、乙；
所以乙以获胜的概率
故答案为：
16、或
【解析】根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解
【详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即，
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程可得，
故直线的方程是，
综上所述，所求直线的方程为或
故答案为：或.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2）存在；，.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；
（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.
【小问1详解】
解：因为为、的“函数”，
所以①，所以
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以②
联立①②解得，
【小问2详解】
解：假设存在实数、，使得为，的“函数”
则
①因为是偶函数，所以
即，即，
因为，整理得
因为对恒成立，所
②，
因为，当且仅当，即时取等号
所以，
由于的值域为，所以，且
又因为，所以，
综上，存在，满足要求
18、（1）S＝（0＜＜θ）；（2）当α＝时，S取得最大值为2﹣
【解析】（1）由题意可求得∠ADO，△COD为等腰三角形，在△OAD中利用正弦定理求出AD，从而可用表示矩形ABCD的面积S；
（2）由（1）可得，然后由的范围结合正弦函数的性质可求出其最大值
【详解】解：（1）由题意可得AD∥OE∥CB，
∴∠POE＝∠PDA＝θ，
∴∠ODC＝＝∠DCO，∠BOA＝2θ﹣2，△COD为等腰三角形
故AB＝2sin（θ﹣）， 再由∠ADO＝＝π﹣θ，
△OAD中，利用正弦定理可得， 化简可得AD=
故矩形ABCD的面积S＝f（）＝AB•AD＝（0＜＜θ）
（2）θ＝，由（1）可得S＝f（）＝＝＝
再由 0＜＜可得 ＜2＋＜，
故当 2＋＝，即当＝时，S＝f（）取得最大值为2﹣
19、证明见解析
【解析】由奇偶性的定义证明即可得出结果.
【详解】中，，即，
的定义域为，关于原点对称，
,
，函数是奇函数.
20、（1）（2），见解析
【解析】当时，分类讨论，去掉绝对值，直接进行求解，即可得到答案
讨论两个根、的范围，结合一元二次方程根与系数之间的关系进行转化求解
【详解】当时，，
当时，，
由，得，得舍或；
当时，，
由得舍；
故当时，方程的解是
不妨设，
因为，
若、，与矛盾，
若、，与是单调函数矛盾，
则；
则…① …②
由①，得：，
由②，得：；
的取值范围是；
联立①、②消去k得：，即，
即，则，
,，即
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，根据条件判断根的范围，以及利用一元二次方程与一次方程的性质进行转化是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性较强，属于中档试题
21、 (Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
分析】
(Ⅰ)根据题意,设出圆的标准方程,代入条件,列方程求解即可;
(Ⅱ)由勾股定理得,所以要求的最小值,即求的最小值,而最小时,垂直于直线,据此可得结论;
(Ⅲ)设,,列出相应等式化简,再利用点的任意性,列出方程组求解即可.
【详解】(Ⅰ)设圆的方程为,
根据题意有,解得,
所以圆的方程为;
(Ⅱ)由勾股定理得,即,
所以要求的最小值,即求的最小值,
而当垂直于直线时,最小,此时,
所以的最小值为;
(Ⅲ)设,满足,
假设的定值为,则,
化简得,
因为对于圆上任意一点上式都成立,
所以,解得(舍),
因此满足条件点的坐标为.
【点睛】本题涉及圆与直线的综合应用,利用了数形结合等思想,考查了学生分析解决问题的能力,综合性较强.在答题时要注意:
①线外一点到线上一点的距离中,垂线段最短;
②解决任意性问题的关键是令含参部分的系数为0,最常见的就是过定点问题.