2025-2026学年湖南省沅江市第三中学高一上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省沅江市第三中学高一上数学期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若两平行直线与之间的距离是，则
A.0 B.1
C.-2 D.-1
2．下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在上单调递增是
A. B.
C. D.
3．函数与的图象（ ）
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线轴对称
4．已知集合，，，则实数a的取值集合为（）
A. B.
C. D.
5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（）
A.{x|－2＜x＜－1} B.{x|－2＜x＜3}
C.{x|－1＜x＜1} D.{x|1＜x＜3}
6．已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
7．角的终边落在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8．在中，，则等于
A. B.
C. D.
9．函数f（x）=x-的图象关于（　　）
Ay轴对称 B.原点对称
C.直线对称 D.直线对称
10．设，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数和函数，若对任意都有使得，则实数a的取值范围为______
12．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________
13．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是______
14．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______
15．集合，则____________
16．已知，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．若，
（）求向量，夹角的正切值
（）问点在什么位置时，向量，夹角最大？
18．对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”
（1）求证：函数在上是“1跃点”函数；
（2）若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围；
（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由
19．定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（1）证明：在上有界函数；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
20．已知向量为不共线向量，若向量与共线求k的值
21．已知函数图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】∵l1∥l2，∴n=-4，l2方程可化为为x+2y－3=0.又由d=，
解得m=2或－8（舍去），∴m+n=-2.
点睛：两平行线间距离公式是对两平行线方程分别为，，则距离为，要注意两直线方程中的系数要分别相等，否则不好应用此公式求距离
2、C
【解析】是偶函数，是奇函数，和既不是奇函数也不是偶函数，在上是减函数，是增函数，故选C
3、D
【解析】函数与互为反函数，然后可得答案.
【详解】函数与互为反函数，它们的图象关于直线轴对称
故选：D
4、C
【解析】先解出集合A，再根据确定集合B的元素，可得答案.
【详解】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为,
故选:C.
5、A
【解析】直接根据交集的定义即可得解.
【详解】解：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
所以.
故选：A.
6、D
【解析】先求得全集U和，根据补集运算的概念，即可得答案.
【详解】由题意得全集，，
所以.
故选：D
7、A
【解析】根据角的定义判断即可
【详解】，故为第一象限角，故选A
【点睛】判断角的象限，将大角转化为一个周期内的角即可
8、C
【解析】分析：利用两角和的正切公式，求出的三角函数值，求出的大小，然后求出的值即可
详解：由，
则，
因为位三角形的内角，所以，所以，故选C
点睛：本题主要考查了两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力
9、B
【解析】函数f（x）=x-则f（-x）=-x+=-f(x)，由奇函数的定义即可得出结论.
【详解】函数f（x）=x-则f（-x）=-x+=-f(x),所以函数f（x）奇函数，所以图象关于原点对称，故选B.
【点睛】本题考查了函数的对称性，根据函数解析式特点得出f（-x）=-f(x)即可得出函数为奇函数，属于基础题.
10、A
【解析】
由与互相推出的情况结合选项判断出答案
【详解】，
由可以推出，而不能推出
则“”是“”的充分而不必要条件
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先根据的单调性求出的值域A，分类讨论求得的值域B，再将条件转化为A，进行判断求解即可
【详解】是上的递减函数，
∴的值域为，令A=，
令的值域为B，
因为对任意都有使得，则有A，
而，当a=0时，不满足A；
当a>0时，，∴解得；
当a<0时，，∴不满足条件A,
综上得.
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题
12、
【解析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.
详解】不妨设，
因为函数有两个零点分别为a，b，
所以，
所以，
即，且，
，
当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，
，
即，
故答案为：
13、
【解析】由可得，求出在上的值域，则实数a的取值范围可求
【详解】由，得，即
由，得，
又∵函数在上存在零点，

即实数a的取值范围是
故答案为
【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值域的求法，是基础题
14、
【解析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可
【详解】由题意可得，
即，解得，
又因为在上单调，
所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，
所以，
又，解得，
所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，
同理，令，，
在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
【点睛】本题综合考查三角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期
15、
【解析】分别解出集合,，再根据并集的定义计算可得.
【详解】∵∴，
∵，∴，
则，
故答案为：
【点睛】本题考查指数不等式、对数不等式的解法，并集的运算，属于基础题.
16、
【解析】
将未知角化为已知角，结合三角恒等变换公式化简即可.
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】三角公式求值中变角的解题思路
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】分析：（）设向量与轴的正半轴所成的角分别为， 则向量所成的夹角为，由两角差的正切公式可得向量夹角的正切值为；（）由 （1）知 ，利用基本不等式即可的结果.
详解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0
设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，
则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，
由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，
得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，
故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；
（2）由 （1）知tan（α﹣β）==≤=，
所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角|α﹣β|的值也最大，
当x=时，取得最大值成立，解得x=2，
故点C在x的正半轴，距离原点为2，
即点C的坐标为C（2，0）时，向量，夹角最大
点睛：本题主要考查利用平面向量的夹角、两角差的正切公式以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
18、（1）证明见详解
（2）
（3）存在，或或
【解析】（1）将要证明问题转化为方程在上有解，构造函数转化为函数零点问题，结合零点存在性定理可证；
（2）原问题等价于方程在由两个根，然后构造二次函数，转化为零点分布问题可解；
（3）将问题转化为方程在上有2022个实数根，再转化为两个函数交点个数问题，然后可解.
【小问1详解】
因为
整理得，令，
因为，所以在区间有零点，即存在，使得，即存在，使得，
所以，函数在上是“1跃点”函数
【小问2详解】
函数在上存在2个“1跃点”方程在上有两个实数根，
即在上有两个实数根，
令，则
解得或，
所以的取值范围是
【小问3详解】
由，得，
即
因为函数在上有2022个“跃点”，所以方程在上有2022个解，即函数与的图象有2022个交点.
所以或或
即或或
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据，利用求解单调性求解；
（2）根据在上是以3为上界的有界函数，令，则，转化，在时恒成立求解.
【小问1详解】
解：，则在上是严格增函数，
故，即，
故，故是有界函数；
【小问2详解】
因为在上是以3为上界的有界函数，
所以在上恒成立，
令，则，
所以在时恒成立，
所以，在时恒成立，
函数在上严格递减，所以；
函数在上严格递增，所以.
所以实数a的取值范围是.
20、或
【解析】由与共线存在实数使,再根据平面向量的基本定理构造一个关于的方程，解方程即可得到k的值.
【详解】
，

或
【点睛】本题主要考查的是平面向量的基本定理，与共线存在实数使是判定两个向量共线最常用的方法，是基础题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得周期为，则可求出的值，再由一条对称轴方程为，可得，可求出的值，从而可求得解析式，
（2）由题意得对恒成立，所以利用三角函数的性质求出即可，从而可求出实数m的取值范围
【小问1详解】
因为图象上相邻两个零点的距离为，
所以周期为，所以，得，
所以，
因为图象的一条对称轴方程为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以
【小问2详解】
由（1）得对恒成立，
因为，所以，
所以，则，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为