2025年江苏省南京市九中数学高二上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年江苏省南京市九中数学高二上期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A.3 B.2
C. D.
2．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）

A.，1， B.，1，
C.，， D.，1，
3．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A.8 B.4
C.2 D.1
4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
6．下列命题中，结论为真命题的组合是（ ）
①“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件
②若命题“”为假命题，则命题一定是假命题
③是的必要不充分条件
④双曲线被点平分的弦所在的直线方程为
⑤已知过点的直线与圆的交点个数有2个.
A.①③④ B.②③④
C.①③⑤ D.①②⑤
7．若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中的芝麻数约为（）
A. B.
C. D.
8．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）
A.16 B.8
C.2 D.1
9．函数的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
10．某商场为了解销售活动中某商品销售量与活动时间之间的关系，随机统计了某次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间

销售量

由表中数据可知，销售量与活动时间之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（）
A B.
C. D.
11．已知实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是（）
A. B.
C. D.
12．高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力．某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆活动的概率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲乙参加摸球游戏，袋子中装有3个黑球和1个白球，球的大小、形状、质量等均一样，若从袋中有放回地取1个球，再取1个球，若取出的两个球同色，则甲胜，若取出的两个球不同色则乙胜，求乙获胜的概率为_____
14．设抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为M， P是C上一点，若|PF|＝5，则|PM|＝__.
15．已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值___
16．已知数列中，.若为等差数列，则______ .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，，，点E为棱的中点，.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面AEB与平面夹角的余弦值.
18．（12分）（1）已知：方程表示双曲线；：关于的不等式有解.若为真，求的取值范围；
（2）已知，，.若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.

（1）当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（2）若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.
20．（12分）已知圆心为的圆过原点，且直线与圆相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）已知过点的直线的斜率为，且直线与圆相交于两点.
①若，求弦的长；
②若圆上存在点，使得成立，求直线的斜率.
21．（12分）已知；.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
22．（10分）已知函数，其中常数，
（1）求单调区间；
（2）若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.
【详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，
则，令坐标原点为O，中，，
又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，
所以双曲线的离心率为
故选：D
2、A
【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.
【详解】在单位正方体中，
以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，0，，
设平面的法向量是，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量是，1，.
故选：.

3、A
【解析】根据是等比数列，则通项为，然后根据条件可解出，进而求得
【详解】由为等比数列，不妨设首项为
由，可得：
又，则有：
则
故选：A
4、A
【解析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.
【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，
，解得：，则抛物线的方程为，
由题意知：直线斜率不为，可设，
由得：，则，即，
设，，则，，，
，，解得：或；
又与坐标原点不重合，，，
当时，，直线恒过定点.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
5、B
【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.
【详解】因为，故可得，则，
又，令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，又，
故在区间上的最小值为.
故选：.
6、C
【解析】求出两直线垂直时m值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断③；
联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点与圆的位置关系判断⑤作答.
【详解】若直线与直线相互垂直，则，
解得或，
则“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件，①正确；
命题“”为假命题，则与至少一个是假命题，不能推出一定是假命题，②不正确；
，，则是的必要不充分条件，③正确；
由消去y并整理得：，，
即直线与双曲线没有公共点，④不正确；
点在圆上，则直线与圆至少有一个公共点，
而过点与圆相切的直线为，直线不包含，
因此，直线与圆相交，有两个交点，⑤正确，
所以所有真命题的序号是①③⑤.
故选：C
7、A
【解析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，利用几何概型得出芝麻落在区域Γ内的概率，进而可得答案.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中三角形ABC及其内部，
不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：

由图可得，A点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.
区域即的面积为，
区域的面积为圆的面积，即，
其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积，所以区域和区域相交的部分面积，
所以落入区域的概率为.
所以均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为.
故选:A.
8、C
【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.
【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，
所以，因此该双曲线的虚轴长为，
故选：C
9、D
【解析】求导后，利用求得函数的单调递减区间.
【详解】解：，
则，
由得，
故选：D.
10、C
【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归方程即可得解.
【详解】由表格中的数据可得，，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，
所以，回归直线方程为，故当时，.
故选：C.
11、D
【解析】利用特殊值排除错误选项，利用函数单调性证明正确选项.
【详解】时，，但，所以A选项错误.
时，，但，所以B选项错误.
时，，但，所以C选项错误.
在上递增，所以，即D选项正确.
故选：D
12、D
【解析】对4个单位分别编号，利用列举法求出概率作答.
【详解】记福利院、社区、图书馆和医院分别为A，B，C，D，
从4个单位中任选两个的试验有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个基本事件，它们等可能，
其中有参加图书馆活动的事件有AC，BC，CD，共3个基本事件，
所以参加图书馆活动的概率.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##0.375
【解析】先算出有放回地取两次的取法数，再算出取出两球不同色的取法数，根据古典概型的概率公式计算即可求得答案.
【详解】有放回地取两球，共有种取法，
两次取球不同色的取法有种，
故乙获胜的概率为 ，
故答案为：
14、
【解析】根据抛物线的性质及抛物线方程可求坐标，进而得解.
【详解】由抛物线的方程可得焦点，准线，
由题意可得，
设，有抛物线的性质可得：，解得x＝4，
代入抛物线的方程可得，
所以，
故答案为：.
15、－
【解析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值
【详解】由双曲线的方程可得，，设，
则，可得，
直线的方程为：，令，则，可得，
直线的方程为，令，可得，即，
∴，，，
故答案为：－
另解：双曲线方程化为，只是将的替换为－，故答案也是只需将中的替换为－即可.
故答案为：－.
16、
【解析】利用等差中项求解即可
【详解】由为等差数列，则，解得
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据矩形及勾股定理的逆定理可得线面垂直的条件，再由平面，即可证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标后，求出相关法向量，再用夹角公式即可.
【小问1详解】
证明：由三棱柱的性质及可知四边形为菱形
又∵
∴为等边三角形
∴，
又∵，∴，∴
又∵四边形为矩形
∴
又∵
∴平面
又∵平面
∴平面平面.
【小问2详解】
以B为原点BE为x轴，为y轴，BA为E轴建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，，，
设平面的法向量为.
则即
∴，
又∵平面ABE的法向量为，
∴，
∴平面ABE与平面夹角的余弦值为.
18、（1）1< m £ 2；（2）(0，1]
【解析】（1）由p Ù(Øq) 为真，可得p 真且q假，然后分别求出p 真，q假时的的取值范围，再求交集即可，
（2）求得p ：-1 £ x £ 2，再由p是q的必要不充分条件，得，解不等式组可求得答案
【详解】（1）因为 p Ù(Øq) 为真，所以p 真且q假，
p 真：(m -1)(m - 3) < 0 Þ1< m < 3，
q假，则不等式无解，则- 4 £ 0Þ -2 £ m £ 2，
所以1 < m £ 2.
（2）依题意，p ：-1 £ x £ 2，因p 是q 的必要不充分条件，
于是得（不同时取等号），解得0 < m £1，
所以实数m 的取值范围是(0，1].
19、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，
（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角
【小问1详解】
因为底面ABCD，平面，
所以
因为，
所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，点E为棱PC的动点，
所以，
所以,，
设平面的法向量为，则
，令，则
设直线BE与平面PBD所成角为，则
，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，
【小问2详解】
，
因为E为棱PC上任一点，所以设，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
取平面的一个法向量为，
设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则
，
所以二面角P-AB-E余弦值为

20、（1）；（2）①，②.
【解析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，圆心也在过点且与垂直的直线上，联立求圆心，进而得半径即可；
（2）①垂径定理即可求弦长；
②圆上存在点，使得成立，即四边形是平行四边形，又，有都是等边三角形，进而得圆心到直线的距离为，列方程求解即可.
试题解析：
（1）由已知得，圆心在线段的垂直平分线上，
圆心也在过点且与垂直的直线上，
由得圆心，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）①由题意知，直线的方程为，即，
∴圆心到直线的距离为，
∴；
②∵圆上存在点，使得成立，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴都是等边三角形，
∴圆心到直线的距离为，
又直线的方程为，即，
∴，
解得.
21、（1）；
（2）.
【解析】解不等式求得为真、为真分别对应的解集；
（1）由为真可得全真，两解集取交集可得结果；
（2）由和的真假性可得一真一假，则分为真假和假真两种情况求得解集.
【小问1详解】
若为真，则，即，
即，所以或，
若为真，则，所以，
因为为真命题，所以均为真命题.
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
若为假命题，为真命题，则一真一假，
若真假，则，解得或，
若假真，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
22、（1）答案不唯一，具体见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）求出函数的导数，谈论参数的范围，根据导数的正负，可得单调区间；
（2）由已知可解得，构造函数，再根据（1）的结论，可知函数的单调性，结合零点存在定理，可证明结论.
【小问1详解】
定义域为，
因为，
若，，所以单调递减区间为，
若，,
当时，，当时，，
所以单调递减区间为，单调递增区间为
【小问2详解】
证明：若且对任意，都有，
则在处取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，
令，则单调性相同，
单调递减区间为，单调递增区间为，
且，，，
所以在和上各有且仅有一个零点，
所以在和各有且仅有一个零点，
即方程有且只有两个实根