江西省宜春市上高县第二中学2025-2026学年数学高一第一学期期末经典试题含解析.doc

江西省宜春市上高县第二中学2025-2026学年数学高一第一学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “”是的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是
A. B.或
C. D.或
3．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是
A. B.
C. D.
4．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）
A.16 B.8
C.4 D.2
5．函数的定义域为（）
A.（－∞，2） B.（－∞，2]
C. D.
6．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
7．已知直线与直线平行，则 的值为
A. B.
C.1 D.
8．如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x|-1＜x＜3}，那么ba等于（ ）
A.－9 B.9
C.－ D.－8
9．设函数,
A 3 B.6
C.9 D.12
10．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）
A.（3，4） B.（2，4）
C.[0，4） D.[3，4）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．的解集为_____________________________________
12．若函数（其中）在区间上不单调，则的取值范围为__________.
13．已知函数是偶函数，它在上是减函数，若满足，则的取值范围是___________.
14．在中，已知，则______.
15．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为______
16．某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h），将数据按照，，，，，，分成6组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.

由图中数据可知___________；估计全校高中学生中完成作业时间不少于的人数为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时（尾/立方米）时，的值为2（千克/年）；当时，是的一次函数；当（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为0（千克/年）.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值.
18．设函数是定义R上的奇函数
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值
19．已知函数，，且在上的最小值为0.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求的最大值以及取得最大值时x的取值集合.
20．已知函数为偶函数.
（1）判断在上的单调性并证明；
（2）求函数在上的最小值.
21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.
【详解】当时，，
即“”是的充分条件；
当时，，
则 或，
则 或,即成立，推不出一定成立，
故“”不是的必要条件，
故选：A.
2、D
【解析】圆的圆心为，半径为，因为直线，所以，设直线的方程为，由题意得或
所以，直线的方程或
3、A
【解析】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，
值域为[m，+∞），
∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，
使得f（s）＝f（t），且s≠t，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），
∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m
∵|f（x）|＝f（）有4个不相等的实数根，
∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，
∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，
∴﹣4＜a＜﹣2，
∴则a的取值范围是（﹣4，﹣2），
故选A

点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
4、A
【解析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A
5、D
【解析】利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.
【详解】由题设，，可得，
所以函数定义域为.
故选：D
6、A
【解析】由题意利用函数的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数的图象向右平移个的单位长度，可得的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为，故选
【点睛】本题主要考查函数的图象变换法则，注意对的影响
7、D
【解析】由题意可得：，解得
故选
8、B
【解析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系致的关系求出的值 ,再计的值.
【详解】由不等式的解集是，
所以是方程的两个实数根.
则，所以
所以
故选：B
9、C
【解析】.故选C.
10、D
【解析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得.
【详解】由方程有四个不同的实数根，
得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线

由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，
设与交点的横坐标为，，设，则，，
由得，
所以，即
设与的交点的横坐标为，，
设，则，，且，
所以，
则
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题得，解不等式得不等式的解集.
【详解】由题得，
所以.
所以不等式的解集为.
故答案为
【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，考查三角不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
12、
【解析】化简f(x)，结合正弦函数单调性即可求ω取值范围.
【详解】，
x∈，
①ω＞0时，
ωx∈，f(x)在不单调，则，则；
②ω＜0时，
ωx∈，f(x)在不单调，则，则；
综上，ω的取值范围是.
故答案为：.
13、
【解析】由偶函数的性质可得，再由函数在上是减函数，可得，从而可求出的取值范围
【详解】因为函数是偶函数，所以可化为，
因为函数在上是减函数，
所以，所以或，
解得或，
所以的取值范围是，
故答案为：
14、11
【解析】由
.
15、
【解析】直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案
【详解】
设球的半径为，由圆柱的性质可得，
圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，
因为圆柱的底面半径为，高为2，
所以，，
因此，这个球的表面积为，故答案为
【点睛】本题主要圆柱的几何性质，考查球体表面积的计算，意在考查空间想象能力以及对基础知识的理解与应用，属于中等题
16、 ①.0.1 ②.50
【解析】利用频率之和为1可求，由图求出完成作业时间不少于的频率，由频数=总数频率可求.
【详解】由可求；由图可知，全校高中学生中完成作业时间不少于的频率为，则对应频数为.
故答案为：；50

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2），鱼的年生长量可以达到最大值12.5
【解析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；
（2）根据题意，结合（1）建立一元二次函数模型求解即可.
【小问1详解】
解：（1）依题意，当时，
当时，是的一次函数，假设
且，，代入得：，解得.
所以
【小问2详解】
解：当时，，
当时，
所以当时，取得最大值
因为
所以时，鱼的年生长量可以达到最大值12.5.
18、（1）1；（2）；（3）最小值，此时.
【解析】（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；
（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；
（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，解得，
所以，
当时，，
所以为奇函数，故；
（2）有解，所以有解，
所以只需，
因为（时，等号成立），
所以；
（3）因为，所以，
可令，可得函数t在递增，即，
则，可得函数，，
由为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以时，取得最小值，
此时，解得，
所以在上的最小值为，此时
【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.
19、（1）最小正周期为，
（2）3，
【解析】（1）直接利用周期公式可求出周期，由可求出增区间，
（2）由得，从而可求出最小值，则可求出的值，进而可求出函数解析式，则可求出最大值以及取得最大值时x的取值集合
【小问1详解】
的最小正周期为.
令，，
解得，.
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
当时，.
，
解得.
所以.
当，，即，时，取得最大值，且最大值为3.
故的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为
20、（1）在上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】（1）先利用函数的奇偶性求得，然后利用单调性的定义证得，从而证得在上递增.
（2）利用换元法化简，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得在上的最小值.
【小问1详解】
为偶函数，，
即，
，则.
所以.
在为增函数,证明如下：
任取，，且，

，
，，，
.
即，在上单调递增.
【小问2详解】
，
令，结合题意及（1）的结论可知.
，
.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
综上，.
21、（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.
【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.
（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.
【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为
3-6+×70+2=43.5(万元).
（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120-x)万元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，
依题意得解得40≤x≤80.
故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).
令t=，则t∈[2，4]，
所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.
当t=6，即x=72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题.