2025-2026学年四川省成都七中实验学校高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年四川省成都七中实验学校高二数学第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．设a，b，c非零实数，且，则（）
A. B.
C. D.
3．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．若两条直线与互相垂直，则的值为（　　）
A.4 B.-4
C.1 D.-1
5．已知是虚数单位，若复数满足，则（）
A. B.2
C. D.4
6．设，，，…，，，则（）
A. B.
C. D.
7．已知双曲线的离心率为，左焦点为F，实轴右端点为A，虚轴上端点为B，则为（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.锐角三角形
8．双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
9．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
10．已知函数，则（）
A.函数在上单调递增
B.函数上有两个零点
C.函数有极大值16
D.函数有最小值
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
12．从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为，则______，现有1个半径为的圆，2个半径为的圆，……，个半径为的圆，n个半径为的圆，则所有这些圆的面积之和为______
14．若a，b，c都为正数，，且，，成等比数列，则的最大值为____________.
15．已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________
16．某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分.现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；
（2）在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线l经过直线，的交点M
（1）若直线l与直线平行，求直线l的方程；
（2）若直线l与x轴，y轴分别交于A，两点，且M为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）
18．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为
19．（12分）设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：
20．（12分）已知
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知钝角内角A，B，C的对边长分别a，b，c，若，，．求a的值
21．（12分）已知数列的前n项和为，且满足
（1）证明数列是等比数列；
（2）若数列满足，证明数列的前n项和
22．（10分）直线经过两直线和的交点
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.
【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，
必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：

当为钝角时，在中，设，

有，，
即，，
所以
；
当时，所在直线方程，所以，，
，根据图象可得要使，点向右上方移动，
此时，
综上所述：的取值范围是.
故选：C
【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.
2、C
【解析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；
对于C：利用作差法证明.
【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；
对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；
对于C：因为，所以.故C正确；
对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；
故选：C.
3、A
【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
故选：A.
4、A
【解析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.
【详解】由两直线垂直，可知：，即.
故选：A
5、C
【解析】先求出，然后根据复数的模求解即可
【详解】，
，
则，
故选：C
6、B
【解析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.
【详解】，，
，，
，……，以此类推，
，所以.
故选：B
7、A
【解析】根据三边的关系即可求出
【详解】因，所以，而，，，
所以
，
即，所以为直角三角形
故选：A
8、A
【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.
【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，
所以，
所以其渐近线方程为：，即.
故选：A.
9、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
10、C
【解析】对求导，研究的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.
【详解】，由，得或，由，得，
所以在上递增，在上递减，在上递增，
所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值.
故选：C
11、A
【解析】根据给定条件结合双曲线定义求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可计算作答.
【详解】因，令，，而双曲线实半轴长，
由双曲线定义知，，
而，于是可得，在等腰中，，
令双曲线半焦距为c，在中，由余弦定理得：，
而，，，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率的方法：
(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
(2)齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
12、C
【解析】利用古典概型计算公式计算即可
【详解】从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球
共有种不同的取法,
恰好有两个小球编号相邻的有:
,共有6种
所以概率为
故选:C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ① ； ②..
【解析】设第n个三角形的边长为，进而根据题意求出，然后根据等面积法求出，再求出；设n个半径为的圆的面积为并求出，进而运用错位相减法求得答案.
【详解】如示意图1，

设第n个三角形的边长为，易得，则是以6为首项，为公比的等比数列，所以.
如示意图2，易得：，，所以，所以.

设n个半径为的圆的面积为，则，记所有圆的面积之和为，则，所以，两式相减得：
，即.
故答案为：；.
14、
【解析】由等比数列性质知，即可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由，，成等比数列，得，即
又，则，
所以，即，即
所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为
故答案为：
15、
【解析】当点和都在圆的内部时，结合点与圆的位置关系得出实数m的取值范围，再由圆心到直线的距离大于半径得出实数m的取值范围.
【详解】当点和都在圆的内部时，，解得或
直线的方程为，即
圆心到直线的距离为，当圆心到直线的距离大于半径时，，且.
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：
16、（1）众数；平均数，中位数.
（2）.
【解析】（1）按“众数，平均数，中位数”的公式求解.
（2）由频率分布直方图得到各区间的频率，再用古典概型求解.
【小问1详解】
众数取频率分布直方图中最高矩形对应区间的中点75；
平均数；
因为，
所以中位数在区间上，且中位数
【小问2详解】
由频率分布直方图得出在区间[40，50）和[90，100]内的成绩样本数据分别有4个和2个，从6个样本选2个共有个结果，
记事件A=“调查对象来自不同分组”，结果有
所以.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）4
【解析】（1）求出两直线的交点M的坐标，设直线l的方程为代入点M的坐标可得答案；
（2）设，，因为为线段AB的中点，可得，由的面积为可得答案.
【小问1详解】
由，得，
所以点M坐标为，
因为，则设直线l的方程为，
又l过点，代入得，故直线l方程为.
【小问2详解】
设，，因为为线段AB的中点，则
，所以，故，，
则的面积为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）（2）直接由条件解出即可得到双曲线方程.
【小问1详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
【小问2详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
19、（1）答案见详解
（2），证明见解析
【解析】（1）求导得，，分类讨论参数a的范围即可判断单调区间；
（2）设，，联立整理得，构造得
，构造函数，结合导数判断单调性，进而得证.
小问1详解】
由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得
所以在单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
证明：因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.
所以，可得,所以.
由（1）可得的极小值点为，则不妨设.
设，，则则，
即，整理得，所以，
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即.
20、（1），；
（2）2.
【解析】(1)利用三角恒等变换公式化简函数，再利用三角函数性质计算作答.
(2)由(1)的结论及已知求出角C，再利用余弦定理计算判断作答.
【小问1详解】
依题意，，
则的最小正周期，
由，解得，则在上单调递增，
所以的最小正周期为，递增区间为.
【小问2详解】
由(1)知，，即，在中，，，
则，即，，于是得，解得，
在中，由余弦定理得：，即，解得或，
当时，，为直角三角形，与是钝角三角形矛盾，
当时，，，此时，是钝角三角形，则，
所以a的值是2.
21、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）可根据已知的与的递推关系，利用求解出数列的首项，然后当时，递推做差，利用消掉，即可得到与之间的关系，从而完成证明；
（2）利用第（1）问求解出的数列的通项公式，带入到中，再使用错位相减法进行求和，根据最后计算的结果与比较即可完成证明.
【小问1详解】
由题意得，当时，，∴，
当时，，
∴，
∵，∴，
于是有，
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
得证.
【小问2详解】
由（1）可知，∴，
，
①，
②，
②−①得：，
∴，
∵，故，
∴
得证.
22、（1）
（2）或
【解析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程
（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程
【小问1详解】
解：由，解得，
所以两直线和的交点为
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为
【小问2详解】
解：斜率不存在时，直线方程为，满足点到直线的距离为5
当的斜率存在时，设直限的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即
综上，直线的方程为或