2025-2026学年陕西省渭南市大荔县同州中学高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年陕西省渭南市大荔县同州中学高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则角的终边所在的象限是（ 　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是
A.0.32＜log0.32＜20.3 B.0.32＜20.3＜log0.32
C.log0.32＜20.3＜0.32 D.log0.32＜0.32＜20.3
3．两平行直线l1：3x+2y+1＝0与l2：6mx+4y+m＝0之间的距离为
A.0 B.
C. D.
4．若关于的方程有且仅有一个实根，则实数的值为（）
A3或-1 B.3
C.3或-2 D.-1
5．在中，，，若点满足，则（）
A. B.
C. D.
6．已知幂函数过点，则在其定义域内（）
A.为偶函数 B.为奇函数
C.有最大值 D.有最小值
7．函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则函数的所有零点之和是（）
A.2 B.4
C.6 D.8
8．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
9．设，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. B.
C. D.
10．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的反函数为___________.
12．若，则______
13．对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的
（1）若，，则与在区间上是否“友好”；
（2）现在有两个函数与，给定区间
①若与在区间上都有意义，求的取值范围；
②讨论函数与与在区间上是否“友好”
14．已知函数若，则实数___________.
15．函数的定义域为___
16．函数的零点个数为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知幂函数的图象过点.
（1）求出函数的解析式，判断并证明在上的单调性；
（2）函数是上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.
18．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是
用宽（单位）表示所建造的每间熊猫居室的面积（单位）；
怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？

19．已知函数，且的图象经过点
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若，求证：在区间内存在零点
20．阅读与探究
人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）》在第一章小结中写道：
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.

依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.
比如：由图1.2-7可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是.
（1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；
（2）根据阅读材料中途1.2-7，若角为锐角，求证：.
21．如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.

（1）证明：平面.
（2）求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】化，可知角的终边所在的象限.
【详解】,
将逆时针旋转即可得到，
角的终边在第三象限.
故选：C
【点睛】本题主要考查了象限角的概念，属于容易题.
2、D
【解析】由已知得：，，，所以.故选D.
考点：指数函数和对数函数的图像和性质.
3、C
【解析】根据两平行直线的系数之间的关系求出,把两直线的方程中的系数化为相同的,然后利用两平行直线间的距离公式,求得结果.
【详解】直线l1与l2平行,所以,解得,
所以直线l2的方程为:,
直线:即,与直线:的距离为:
.
故选:C
【点睛】本题考查直线平行的充要条件,两平行直线间的距离公式,注意系数必须统一,属于基础题.
4、B
【解析】令，根据定义，可得的奇偶性，根据题意，可得，可求得值，分析讨论，即可得答案.
【详解】令，
则，
所以为偶函数，图象关于y轴对称，
因为原方程仅有一个实根，
所以有且仅有一个根，即，
所以，解得或-1，
当时，，，，不满足仅有一个实数根，故舍去，
当时，，当时，由复合函数的单调性知是增函数，所以，
当时，，所以，
所以仅有，满足题意，
综上：.
故选：B
5、C
【解析】由题可得，进一步化简可得.
【详解】，，
.
故选：C.
6、A
【解析】设幂函数为，代入点，得到，判断函数的奇偶性和值域得到答案.
【详解】设幂函数为，代入点，即，
定义域为，为偶函数且
故选：
【点睛】本题考查了幂函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
7、B
【解析】根据题意可知图象关于点中心对称，由的解析式求出时的零点，根据对称性即可求出时的零点，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于点中心对称，
将的图象向右平移个单位可得的图象，
所以图象关于点中心对称，
当时，，
令解得：或，
因为函数图象关于点中心对称，
则当时，有两解，为或，
所以函数的所有零点之和是，
故选：B
第II卷（非选择题
8、D
【解析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围
【详解】解：当时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在上的值域为，，
，
，
在上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或
故选：
【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则值域是值域的子集
9、C
【解析】先判断，再判断得到答案.
【详解】；；；
，即
故选：
【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
10、D
【解析】，，；且；.
考点：对数函数的单调性.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题设可得，即可得反函数.
【详解】由，可得，
∴反函数为.
故答案为：.
12、
【解析】由二倍角公式，商数关系得，再由诱导公式、商数关系变形求值式，代入已知可得
【详解】，所以，

故答案为：
13、（1）是；（2）①；②见解析
【解析】（1）按照定义，只需判断在区间上是否恒成立；
（2）①由题意解不等式组即可；②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，即，即，只需求出函数在区间上的最值，解不等式组即可.
【详解】（1）由已知，，因为时，
，所以恒成立，故
与在区间上是“友好”的.
（2）①与在区间上都有意义，
则必须满足，解得，又且，
所以的取值范围为.
②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，
则，即，
因为，则，，所以在的右侧，
又复合函数的单调性可得在区间上为减函数，
从而，，
所以，解得，
所以当时，与与在区间上是“友好”的；
当时，与与在区间上是“不友好”的.
【点睛】本题考查函数的新定义问题，主要涉及到不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
14、2
【解析】先计算，再计算即得解.
【详解】解：，所以.
故答案为：2
15、
【解析】解不等式组即得解.
【详解】解：由题得且,
所以函数的定义域为.
故答案为：
16、3
【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，

由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.
故答案为：3

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），在上是增函数；证明见解析（2）
【解析】（1）幂函数的解析式为，将点代入即可求出解析式，再利用函数的单调性定义证明单调性即可.
（2）由（1）可得当时，在上是增函数，利用函数为偶函数可得在上是减函数，由，，从而可得，解不等式即可.
【详解】（1）设幂函数的解析式为，
将点代入解析式中得，
解得，
所以，所求幂函数的解析式为.
幂函数在上是增函数.
证明：任取，且，则

，
因为，，
所以，即幂函数在上是增函数
（2）当时，，
而幂函数在上是增函数，
所以当时，在上是增函数.
又因为函数是上的偶函数，所以在上是减函数.
由，可得：，
即，
所以满足时实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了幂函数、函数单调性的定义，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.
18、（1）（2）使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
【解析】（1）根据周长求出居室的长，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义确定定义域（2）根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法：在对称轴处取最大值
试题解析：解：（1）设熊猫居室的宽为（单位），由于可供建造围墙的材料总长是，则每间熊猫居室的长为（单位m）
所以每间熊猫居室的面积
又得

（2）
二次函数图象开口向下，对称轴且，
当时，，
所以使每间熊猫居室的宽为，每间居室的长为15m时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150
点睛：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题
19、（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）将点代入解析式求解；（2）根据函数单调性求解最大值；（3）零点存在性定理证明在区间内存在零点.
【小问1详解】
因为函数，且的图象经过点，
所以.
所以.
【小问2详解】
因为，所以.
所以在区间上单调递减.
所以在区间上的最大值是.
所以.
所以在区间上的最大值是.
【小问3详解】
因为，
所以.
因为，，
所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得：在区间内存在零点
20、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增.（2）当是锐角时，有，由此得到.
解析：（1）当时， 增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间上的情况完全一样；随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角 和，它们的终边关于轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数.
（2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以，又 ，而，故即.

点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）在平面内作出辅助线，然后根据线面平行判定定理证明即可；
（2）作出三棱锥的高，将看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算即可.
【小问1详解】
证明：连接，交于，连接，因为是直三棱柱，所以为中点，而点为的中点，

所以，
因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：过作于，
因为是直三棱柱，点为的中点，
所以，且底面，
所以,
因为，所以，
则 ,
所以