2026届陕西省山阳中学高一上数学期末统考试题含解析.doc

2026届陕西省山阳中学高一上数学期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，已知的图象关于原点对称，则的最小正值为（）
A.2 B.3
C.4 D.6
2．设，，，则、、的大小关系是
A. B.
C. D.
3．设．若存在，使得，则的最小值是（）
A.2 B.
C.3 D.
4．的值等于
A. B.
C. D.
5．如图一铜钱的直径为毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为

A. B.
C. D.
6．已知全集，集合，，则（）
A. B.
C D.
7．已知，则=
A.2 B.
C. D.1
8．函数的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
9．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.
12．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.
13．已知函数，则__________
14．某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是_______.
15．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______________.
16．若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的值域；
（2）求函数在区间上的最大值.
18．已知平面直角坐标系内四点，，，.
（1）判断的形状；
（2）A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由.
19．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a·bt，Q=alogbt，并说明理由；
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
20．已知函数(，且).
（1）判断函数的奇偶性，并予以证明；
（2）求使的x的取值范围.
21．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.

（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据图象平移求出g(x)解析式，g(x)为奇函数，则g(0)＝0，据此即可计算ω的取值.
【详解】根据已知，可得，
∵的图象关于原点对称，所以，从而，Z，
所以，其最小正值为3，此时
故选：B
2、B
【解析】详解】，，，
故选B
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小
3、D
【解析】由题设在上存在一个增区间，结合、且，有必为的一个子区间，即可求的范围.
【详解】由题设知：，，又，
所以在上存在一个增区间，又，
所以，根据题设知：必为的一个子区间，即，
所以，即的最小值是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：结合题设条件判断出必为的一个子区间.
4、C
【解析】因为，所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.
【详解】，
，
，故本题选C.
【点睛】本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解：
，
.
5、B
【解析】由题意结合几何概型公式可得：该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为:
.
本题选择B选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.
6、C
【解析】根据集合补集和交集运算方法计算即可.
【详解】表示整数集Z里面去掉这四个整数后构成的集合，
∴.
故选：C.
7、D
【解析】.故选.
8、A
【解析】利用奇偶性定义可知为偶函数，排除；由排除，从而得到结果.
【详解】
为偶函数，图象关于轴对称，排除
又，排除
故选：
【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.
9、D
【解析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集
【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为

故选：D
10、D
【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，
所以，所以，故选D
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、9
【解析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件
【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题
12、或
【解析】根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，再结合直线方程求法，即可对本题求解
【详解】由题意，设直线在两坐标轴上的截距均为，
当时，设直线方程为：，
因为直线过点，所以，即，
所以直线方程为：,即： ，
当时，直线过点，且又过点，
所以直线的方程为，即：，
综上，直线的方程为：或.
故答案为：或
【点睛】本题考查直线方程的求解，考查能力辨析能力，应特别注意，截距相等，要分截距均为和均不为两种情况分别讨论.
13、3
【解析】
14、①②③
【解析】由奇偶性判断①，结合①对，，三种情况讨论求值域，判断②，由单调性判断③，由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，进而判断④，从而得出答案
【详解】①，即，故正确；
②当时，，由①可知当时，，当时，，所以函数的值域是，正确；
③当时，，由反比例函数的单调性可知，在上是增函数，由①可知在上也是增函数，所以若，则一定有，正确；
④由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，故错误
综上正确结论的序号是①②③
【点睛】本题考查函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，值域等，属于一般题
15、
【解析】先讨论时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解.
【详解】当时，则化为（不恒成立，舍），
当时，要使对一切恒成立，
需，即，
即a的取值范围是.
故答案为：.
16、
【解析】当函数取得最值时有，由此求得的值，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围（含有），对赋值求得的具体范围.
【详解】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有最值.所以时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.
【点睛】本小题主要考查三角函数最值的求法，考查不等式的解法，考查赋值法，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）利用二次函数的图象和性质求值域；
（2）讨论对称轴与区间中点的大小关系，即可得答案；
【详解】（1）由题意，当时，，又，
对称轴为，，
离对称轴较远，，
的值域为.
（2）由题意，二次函数开口向上，对称轴为，由数形结合知，
（i）当，即时，；
（ii）当，即时，，
综上：.
【点睛】本题考查一元二次函数的值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意抛物线的开口方向及对称轴与区间的位置关系.
18、（1）是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四点共圆；理由见解析
【解析】（1）利用两点间距离公式可求得,再利用斜率公式可得到,即可判断三角形形状；
（2）由（1）先求得的外接圆,再判断点是否在圆上即可
【详解】解：
（1）,,
,
又,
,即,
∴是等腰直角三角形
（2）A，B，C，D四点共圆；
由（1）,设的外接圆的圆心为,
则,即,
解得,此时,
所以的外接圆的方程为,
将D点坐标代入方程得,即D点在的外接圆上.
∴A，B，C，D四点共圆
【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查斜率公式的应用,考查三角形的外接圆,考查圆的方程,考查运算能力
19、（1）选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述，理由见解析；（2）150(天)，100(元/10kg).
【解析】（1）由所提供的数据和函数的单调性得出应选函数，再代入数据可得芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数.
（2）由二次函数的性质可以得出芦荟种植成本最低成本.
【详解】（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，
若用函数Q=at+b，Q=a·bt，Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，
所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c，可得： ，解得.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t变化关系的函数.
（2）当时，芦荟种植成本最低为 (元/10kg).
【点睛】本题考查求回归方程，以及回归方程的应用，属于中档题.
20、（1）是奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】（1）先根据对数函数的定义得函数的定义域关于原点对称，再根据函数的奇偶性定义判断即可；
（2）由已知条件得，再分与两种情况讨论，结合对数函数的单调性列出不等式组，求出x的取值范围即可.
【详解】（1）函数是奇函数.
证明：要使函数的解析式有意义，
需的解析式都有意义，
即解得，
所以函数的定义域是，
所以函数的定义域关于原点对称.
因为

所以函数是奇函数.
（2）若，
即.
当时，有
解得；
当时，有
解得，
综上所述，当时，x的取值范围是，
当时，x的取值范围是.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有本题函数的奇偶性的判断与证明、对数函数的单调性、根据单调性解不等式，不用对参数进行讨论，属于中档题目.
21、（1）证明见解析；（2）；
【解析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.
【详解】（1）连接，交于，连接

四边形为正方形 为中点，又为中点
平面，平面 平面
（2）平面 直线与平面所成角即为

设，则
【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.