山东省泰安市2026届数学高一上期末预测试题含解析.doc

山东省泰安市2026届数学高一上期末预测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设：，：，则是的（）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知集合，，若，则的值为
A.4 B.7
C.9 D.10
3． “”是“”成立的　　条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分又不必要
4．函数是
A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数
C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　）
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
6． “，”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．函数在区间上的最大值为
A.2 B.1
C. D.1或
8．奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是.
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(1，＋∞)
9．已知且，函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
10．若直线与直线垂直，则()
A.1 B.2
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是幂函数，且在区间是减函数，则m=_____________.
12．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________

13．函数，且）的图象恒过定点，则点的坐标为___________；若点在函数的图象上，其中，，则的最大值为___________.
14．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则______
15．若关于的方程只有一个实根，则实数的取值范围是______.
16．幂函数的图象经过点，则=____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设全集，集合
（1）求；
（2）若集合满足，求实数的取值范围.
18．如图，在直三棱柱中，三角形为等腰直角三角形，，，点是的中点

（1）求证：平面；
（2）二面角的平面角的大小
19．某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态

（1）求函数的解析式；
（2）该城市2021年12月8日这一天哪个时间段空气属于污染状态？并说明理由
20．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
21．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.

（1）求的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.
【详解】解：因为：，
所以：或，
因为：，
所以是的充分不必要条件.
故选：B
【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.
2、A
【解析】可知，或，所以．故选A
考点：交集的应用
3、B
【解析】求出不等式的等价条件，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】由不等式“”，解得，
则“”是“”成立的必要不充分条件
即“”是“”成立的必要不充分条件，
故选B
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合不等式的关系是解决本题的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.
4、A
【解析】对于函数y＝sin，T＝4π，且sin(－)＝－sin．故选A
5、D
【解析】化简得到，根据平移公式得到答案.
【详解】；
故只需向右平移个单位长度
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于三角函数的变换的理解的掌握情况.
6、A
【解析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.
【详解】，时，，
，时，，
所以“，”是“”的充分而不必要条件，
故选:.
7、A
【解析】利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为﹣（sinx﹣1）2+2，根据二次函数的性质，求得函数f（x）的最大值
【详解】∵函数f（x）＝cos2x+2sinx
＝1﹣sin2x+2sinx＝﹣（sinx﹣1）2+2，
∴sinx≤1，
∴当sinx＝1时，函数f（x）取得最大值为2，
故选A
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题
8、A
【解析】考点：奇偶性与单调性的综合
分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果

解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）
故选A
9、D
【解析】根据单调性的定义可知函数在R上为增函数，即可得到，解出不等式组即可得到实数的取值范围
【详解】∵对任意实数，都有成立，
∴函数在R上为增函数，
∴，解得，∴实数的取值范围是
故选：D
10、B
【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.
【详解】由题意可知，即
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据幂函数系数为1，得或，代入检验函数单调性即可得解.
【详解】由是幂函数，可得，解得或，
当时，在区间是减函数，满足题意；
当时，在区间是增函数，不满足题意；
故.
故答案为：.
12、②③
【解析】设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误
【详解】设AC∩BD=O,如图，

①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；
②∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，②正确；
③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC，③正确；
④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，
∴PD2+CD2=PC2，
∴④△PCD为直角三角形，④错误，
故答案为：②③
13、 ① ②.##0.5
【解析】根据对数函数图象恒过定点求出点A坐标；代入一次函数式，借助均值不等式求解作答.
【详解】函数，且）中，由得：，则点；
依题意，，而，，则，当且仅当2m=n=1时取“=”，即，
所以点的坐标为，的最大值为.
故答案为：；
14、
【解析】先由三角函数定义得，再由正切的两角差公式计算即可.
【详解】由三角函数的定义有，
而.
故答案为：
15、
【解析】把关于的方程只有一个实根，转化为曲线与直线的图象有且只有一个交点，在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，关于方程只有一个实根，
转化为曲线与直线的图象有且只有一个交点，
在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，如图所示，
结合图象可知，当直线介于和之间的直线或与重合的直线符合题意，
又由直线在轴上的截距分别为，
所以实数的取值范围是.
故答案为.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把方程的解转化为直线与曲线的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于基础题.
16、2
【解析】根据幂函数过点，求出解析式，再有解析式求值即可.
【详解】设，
则，
所以，
故，
所以.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）
【解析】（1）化简集合，利用交集的定义求解，再利用补集的定义求解；（2）化简集合，由，得，列不等式求解.
【小问1详解】
化简，
，所以或.
【小问2详解】
，因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为
18、 (1)见解析(2)
【解析】设，连接，则，由此即可证明平面；
推导出，，从而平面，进而，，为二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角的大小
解析：（1）在直三棱柱中，设，
则为的中点，连接，
∵为的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵中，，为中点，∴，
又∵平面，平面，
∴，又，∴平面，
∵平面，平面，∴，，
∴为二面角的平面角，
∵中，，∴，
中，，
∴二面角的平面角的大小为

19、（1）
（2）当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态，理由见解析
【解析】（1）先用待定系数法求得时的解析式，再算得当时的函数值，再由待定系数法可得时的解析式；
（2）根据，分段解不等式即可.
【小问1详解】
当时，
，将代入得，
∵时，，
∴由的图象是一条连续曲线可知，点在的图象上，当时，
设，将代入得，
∴
【小问2详解】
由题意可知，空气属于污染状态时，
∴或，
∴或，∴，
∴当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态
20、（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）或.
【解析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
【小问1详解】
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不 “自均值函数”.
【小问2详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.
【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.
21、（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.
【解析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；
（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；
（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.
【详解】解：（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，
当时，，代入得，，
因为，所以；
（2）由（1）知：，
盛水筒达到最高点时，，
当时，，所以，
所以，解得，
因为，所以，当时，，
所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；
（3）由题知：，即，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，
所以，
所以，
所以，再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒不在水中.
【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.