2025-2026学年河南中原名校数学高一第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河南中原名校数学高一第一学期期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的终边在第三象限，则点在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．已知方程,在区间（-2，0）上的解可用二分法求出，则的取值范围是
A.（-4,0） B.（0,4）
C.[-4,0] D.[0,4]
3．已知命题，；命题，．若，都是假命题，则实数的取值范围为（）
A. B.
C.或 D.
4．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）
A.a＜b＜2 B.b＜a＜2
C.2＜a＜b D.2＜b＜a
5．直线与函数的图像恰有三个公共点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6．不等式的解集是（）
A.或 B.或
C. D.
7．设集合，则（）
A. B.
C. D.
8．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A.{x|x>2} B.
C.{或x>2} D.{或x>2}
10．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的反函数为___________
12．若，且，则上的最小值是_________.
13．若函数部分图象如图所示，则此函数的解析式为______.

14．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为和，其中为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆汽车，则该公司能获得的最大利润为_____万元.
15．已知正数a，b满足，则的最小值为______
16．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则下列结论正确的是_____．（填序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④sin∠PDA

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）证明：在区间上单调递减.
18．正数x，y满足.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值
19．已知关于x的不等式：
（1）当时，解此不等式；
（2）当时，解此不等式
20．已知，，.
（1）求，的值；
（2）若，求值.
21．已知函数的图象过点.
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据角的终边所在象限，确定其正切值和余弦值的符号，即可得出结果.
【详解】角的终边在第三象限，则，，点P在第四象限
故选：D.
2、B
【解析】根据零点存在性定理，可得，求解即可.
【详解】因为方程在区间（-2，0）上的解可用二分法求出，所以有，
解得.
故选B
【点睛】本题主要考查零点的存在性定理，熟记定理即可，属于基础题型.
3、B
【解析】写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.
【详解】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：为真命题，
解得，
同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即为真命题，
所以，解得或，
综上：，
故选：B
【点睛】本题考查命题的否定，存在量词命题与全程量词命题的否定关系，考查分析理解，推理判断的能力，属基础题.
4、D
【解析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2
故选：D.
【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.
5、C
【解析】解方程组 ，得 ，或
由直线与函数的图像恰有三个公共点，作出图象，结合图象，知
∴实数的取值范围是
故选C
【点睛】本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用
6、A
【解析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，利用二次不等式的解法可求得结果
【详解】由，得，解得或
所以原不等式的解集为或
故选：A
7、C
【解析】利用集合并集的定义，即可求出.
【详解】 集合，
.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是集合的并集的运算，是基础题.
8、A
【解析】由题意知原命题为假命题，故命题的否定为真命题，再利用，即可得到答案.
【详解】由题意可得“”是真命题，故或.
故选：A.
9、C
【解析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.
详解】依题意，不等式，
又在上是增函数，所以，
即或，解得或.
故选：C.
10、C
【解析】设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）
矩形的面积S=x（12-x）＞20
∴x2-12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率
考点：几何概型

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出函数的值域有，再得出，从而求得反函数.
【详解】由，可得
由，则，
所以
故答案为：.
12、
【解析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值
【详解】解：因为，且，
，当且仅当时，即，时等号成立；
故答案为：
13、.
【解析】由周期公式可得，代入点解三角方程可得值，进而可得解析式.
【详解】由题意，周期，解得，
所以函数，又图象过点，
所以，得，
又，所以，
故函数的解析式为.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及系数的意义，属于基础题.
14、
【解析】设该公司在甲地销x辆，那么乙地销15－x辆，利润L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且当x＜10.2时，L′(x)＞0，x＞10.2时，L′(x)＜0，∴x＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元
答案：45.6万元
15、##
【解析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.
【详解】，
故,则，当且仅当时，等号成立
故答案为：
16、④
【解析】由题意,分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可得到答案.
【详解】∵PA⊥平面ABC，如果PB⊥AD，可得AD⊥AB，但是AD与AB成60°，∴①不成立，
过A作AG⊥PB于G，如果平面PAB⊥平面PBC，可得AG⊥BC，∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，矛盾，所以②不正确；
BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，所以③不正确；
在Rt△PAD中，由于AD＝2AB＝2PA，∴sin∠PDA，所以④正确；

故答案为: ④
【点睛】本题考查线面位置关系判定与证明,考查线线角,属于基础题.熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）是偶函数，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义证明即可，
（2）利用单调性的定义证明
【小问1详解】
为偶函数，
证明如下：
定义域为R，
因为，
所以是偶函数.
【小问2详解】
任取，且，则

因为，所以，
所以，即，
由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.
18、 (1)36；(2)
【解析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；
(2)由，再求解即可.
【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，
当且仅当，即时取等号，
故x＋2y的最小值为.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.
19、（1）或
（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为
【解析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；
（2）不等式可变形为(x－3)(x－)＜0，然后分a＝、0＜a＜、a＞三种情况讨论即可.
【小问1详解】
当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，
当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}
【小问2详解】
当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0
整理得：(x－3)(x－)＜0，
当a＝时，＝3，此时不等式无解；
当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；
当a＞时，＜3，解得＜x＜3；
综上：当a＝时，解集为Æ；
当0＜a＜时，解集为{x|3＜x＜}；
当a＞时，解集为{x|＜x＜3}.
20、（1），
（2）
【解析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；
（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.
【小问1详解】
∵，∴.
∵，∴，
∴，且，解得，
∴，
【小问2详解】
∵，，∴，
∴，
∴
.
21、（1）（2）（3）
【解析】（Ⅰ）根据图象过点，代入函数解析式求出k的值即可；
（Ⅱ）令，则命题等价于，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅲ）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可
【详解】（I）函数的图象过点

（II）由（I）知
恒成立
即恒成立
令，则命题等价于
而单调递增
即
（III），

令

当时，对称轴
①当，即时

，不符舍去.
②当时,即时
.
符合题意.
综上所述：
【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题