北京东城区北京市东直门中学2025年数学高一第一学期期末质量检测试题含解析.doc

北京东城区北京市东直门中学2025年数学高一第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在棱长为1的正方体中，三棱锥的体积为（）

A. B.
C. D.
2．已知角的终边过点，则等于（ ）
A.2 B.
C. D.
3．一个孩子的身高与年龄（周岁）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是（）
A.回归直线一定经过样本点中心
B.斜率的估计值等于6.217，说明年龄每增加一个单位，身高就约增加6.217个单位
C.年龄为10时，求得身高是，所以这名孩子的身高一定是
D.身高与年龄成正相关关系
4．若函数为上的奇函数，则实数的值为（）
A. B.
C.1 D.2
5．已知，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A.至少有一个白球与都是红球 B.恰好有一个白球与都是红球
C.至少有一个白球与都是白球 D.至少有一个白球与至少一个红球
7．已知是第三象限角，且，则（）
A. B.
C. D.
8．已知sinα + cosα = ，则sin的值为（）
A.- B.
C.- D.
9．植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）

A.(且 )
B.(，且 )
C.
D.
10．已知集合，或，则（）
A.或 B.
C. D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则函数f（x）的值域为______．
12．设当时，函数取得最大值，则__________.
13．已知函数，则__________.
14．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示)
15．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________________ .
16．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(-1，-2)，C(-3，4)，则BC边上的中线AD所在的直线方程为_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围
18．已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域.
19．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＞2x＋5.
20．已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）探究在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
21．已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）若，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】用正方体的体积减去四个三棱锥的体积
【详解】由，

故选：A
2、B
【解析】由正切函数的定义计算
【详解】由题意
故选：B
3、C
【解析】利用线性回归方程过样本中心点可判断A；由回归方程求出的数值是估计值可判断B、C；根据回归方程的一次项系数可判断D；
【详解】对于A，线性回归方程一定过样本中心点，故A正确；
对于B，由于斜率是估计值，可知B正确；
对于C，当时，求得身高是是估计值，故C错误；
对于D，线性回归方程的一次项系数大于零，故身高与年龄成正相关关系，故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了线性回归方程的特征，需掌握这些特征，属于基础题.
4、A
【解析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有，可求得答案.
【详解】函数为上的奇函数,
故，得，
当时，满足，
即此时为奇函数，
故，
故选：A
5、B
【解析】利用函数单调性及中间值比大小.
【详解】，且，故，，
故.
故选：B
6、B
【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
7、A
【解析】由是第三象限角可判断，利用平方关系即可求解.
【详解】解：因为是第三象限角，且，
所以，
故选：A.
8、C
【解析】应用辅助角公式可得，再应用诱导公式求目标三角函数的值.
【详解】由题设，，而.
故选：C
9、B
【解析】由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.
10、A
【解析】应用集合的并运算求即可.
【详解】由题设，或或.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．
【详解】解：函数，
，
由，解得，此时函数单调递增
由，解得，此时函数单调递减
函数的最小值为（2），
（1），（5）
最大值为（5），
，
即函数的值域为：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题．
12、
【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.
【详解】由辅助角公式可知，，，，
当，时取最大值，
即，
，
故答案为.
13、2
【解析】先求出，然后再求的值.
【详解】由题意可得，
所以，
故答案为：
14、
【解析】根据＝，利用向量的线性运算转化即可.
【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以＝,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
15、
【解析】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以在定义域上递减，且，所以 解得，故填.
点睛：利用奇函数及其增减性解不等式时，一方面要确定函数的增减性，注意奇函数在对称区间上单调性一致，同时还要注意函数的定义域对问题的限制，以免遗漏造成错误.
16、
【解析】求出的坐标后可得的直线方程.
【详解】的坐标为，故的斜率为，
故直线的方程为即，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）当时，可求出集合，再求出集合，取交集即可得到答案.
（2）根据，可得，分别求出集合和集合，集合是集合的子集，即可得到答案.
【小问1详解】
当时，集合，，即集合，，故.
【小问2详解】
，集合，集合，.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由可得，由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式；
（2）由二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域.
【小问1详解】
解：由可得，
，
由得，
所以，解得，所以.
【小问2详解】
解：由（1）可得：，
则的图象的对称轴方程为，，
又因为，，
所以，在区间上的值域为.
19、 (1);(2)
【解析】(1) 设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出f（x）；
(2) 利用一元二次不等式的解法即可得出
【详解】(1).设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，
∵函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，
f(x＋1)－f(x)=-=2ax+a+b=2x
，解得．且f（0）＝1．c=1
∴f（x）＝x2﹣x+1
(2) 不等式f（x）＞2x+5，即x2﹣x+1＞2x+5，化为x2﹣3x﹣4＞0
化为（x﹣4）（x+1）＞0，解得x＞4或x＜﹣1
∴原不等式的解集为
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.
20、（1）；（2）在上为增函数，证明见解析.
【解析】（1）由可求得的值；
（2）任取，可证明，则，从而可得结论.
【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，
故，解得.
经检验，是奇函数；
（2）是上的增函数，证明如下：
任取，
，
由于，所以，，
所以，即，
所以在上为增函数
【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数，考查了函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题.
21、（1）是奇函数，证明见解析
（2）
【解析】（1）先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义进行判定；
（2）先解关于的一元二次不等式得到，再利用对数函数的单调性转化为分式不等式进行求解.
【小问1详解】
解：是奇函数，证明如下：
令，即，
解得，即的定义域为；
对于任意，都有，
且，
即，
所以是奇函数.
【小问2详解】
解：因为，
所以，则，
即，所以，
因为，所以，
所以可化为，
解得，
即的取值范围为.