2025-2026学年甘肃省临洮县二中数学高一上期末考试试题含解析.doc

2025-2026学年甘肃省临洮县二中数学高一上期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知命题：函数过定点，命题：函数是幂函数，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知函数的值域是（）
A. B.
C. D.
3．古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为（）
A B.
C. D.
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）

A. B.
C. D.
5．已知幂函数过点，则在其定义域内（）
A.为偶函数 B.为奇函数
C.有最大值 D.有最小值
6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A. B.
C. D.
8．函数的定义域为
A. B.
C. D.
9．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）
A.2x+y-12＝0 B.x-2y-1＝0或2x-5y＝0
C.x-2y-1＝0 D.2x+y-12＝0或2x-5y＝0
10．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（　　）
A.﹣3 B.﹣1
C.1 D.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数在上的最大值为2，则_________
12．已知函数，且，则__________
13．函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围为__________
14．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.
15．已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为________
16．已知函数对于任意，都有成立，则___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（，且）.
（1）若，试比较与的大小，并说明理由；
（2）若，且，，三点在函数的图像上，记的面积为，求的表达式，并求的值域.
18．黄山市某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足关系：.肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理，施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19．改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：
上市时间x天
8
10
32
市场价y元
82
60
82
根据上表数据，从下列函数：；；中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由
利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格
20．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动

（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF
21．已知A，B，C是三角形三内角，向量，，且
（1）求角A；
（2）若，求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据幂函数的性质，从充分性与必要性两个方面分析判断.
【详解】若函数是幂函数，则过定点；当函数过定点时，则不一定是幂函数，例如一次函数，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
2、B
【解析】由于，进而得，即函数的值域是
【详解】解：因为,
所以
所以函数的值域是
故选：B
3、A
【解析】由题目给出的条件可知，圆柱内切球的表面积圆柱表面积的，通过圆柱的体积求出圆柱底面圆半径和高，进而得出表面积，再计算内切球的表面积.
【详解】设圆柱底面圆半径为，则圆柱高为，圆柱体积，解得，又圆柱内切球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，
所以内切球的表面积是圆柱表面积的，圆柱表面积为，所以内切球的表面积为.
故选：A.
4、D
【解析】由线性运算的加法法则即可求解.
【详解】如图，设交于点，则.

故选：D
5、A
【解析】设幂函数为，代入点，得到，判断函数的奇偶性和值域得到答案.
【详解】设幂函数为，代入点，即，
定义域为，为偶函数且
故选：
【点睛】本题考查了幂函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
6、C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.
【详解】根据定义可知：若有不动点，则有解.
A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；
B．令，此时无解，，所以不是“不动点”函数；
C．当时，令，所以或，所以“不动点”函数；
D．令即，此时无解，所以不是“不动点”函数.
故选：C.
7、D
【解析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案
【详解】阴影部分表示的集合为，

故选
【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题
8、C
【解析】要使函数有意义，需满足解得，所以函数的定义域为
考点：求函数的定义域
【易错点睛】本题是求函数的定义域，注意分母不能为0，同时本题又将对数的运算，交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．学生很容易忽略，造成失误，注意在对数函数中，真数一定是正数，负数和零无意义
考点：求函数的定义域
9、D
【解析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距式求得直线方程.
【详解】当直线过原点时，直线方程为，即.
当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，
所以直线方程为.
故选：D
10、B
【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.
【详解】解：在上
在上单调递增，且当取得最大值
，可知

故答案为：1
12、或
【解析】对分和两类情况，解指数幂方程和对数方程，即可求出结果.
【详解】当时，因为，所以，所以，经检验，满足题意；
当时，因为，所以，即，所以，经检验，满足题意.
故答案为：或
13、
【解析】根据题意,f(x)为奇函数,若f(2)=1,则f(−2)=-1，
f(x)在(−∞,+∞)单调递增,且−1⩽f(x−2)⩽1,即f(-2)⩽f(x−2)⩽f(2)，
则有−2⩽x−2⩽2，
解可得0⩽x⩽4，
即x的取值范围是；
故答案为.
14、2
【解析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.
【详解】因为该组数据的极差为5，，
所以，解得.
因为，
所以该组数据的方差为
故答案为：.
15、
【解析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.
【详解】作出的图象，如下图所示：

∵关于的方程有且仅有一个实数根，
∴函数的图象与有且只有一个交点，
由图可知，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
16、##
【解析】由可得时，函数取最小值，由此可求.
【详解】，其中，．因为，所以，，解得，，则
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当时，；当时，；（2）；
【解析】（1）根据题意分别代入求出，再比较的大小，利用函数的单调性即可求解.
（2）先表示出的表达式，再根据函数的单调性求的值域.
【详解】解：（1）当时，在上单调递减；
，
，
又，
，
故；
同理可得：当时，在上单调递增；
，
，
又，
，
故，
综上所述：当时，；当时，；
（2）由题意可知：

，，
，故在上单调递增；
令，，
当时，在上单调递增；
故在上单调递减；
故在上单调递减；
故，
故的值域为：.
18、（1）
（2）当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元
【解析】（1）用销售收入减去成本求得的函数关系式.
（2）结合二次函数的性质、基本不等式来求得最大利润以及此时对应的施肥量.
小问1详解】
由已知得：,
故.
【小问2详解】
若，则,
此时，对称轴为，故有最大值为.
若，则
,
当且仅当，即时等号成立,
此时，有最大值为,
综上有，有最大值为750,
∴当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元.
19、（1）见解析；（2）上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元
【解析】根据函数单调性选择模型；求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值
【详解】由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，
而函数和均为单调函数，显然不符合题意；
故选择函数模型
把，，代入得：
，解得：，
∴
∴上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元
【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，二次函数在实际中的应用，属于中档题
20、（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详见解析
【解析】(1)三棱锥的体积＝＝·＝.

(2)当点为的中点时，与平面平行
∵在中，分别为、的中点，
∴，又平面，平面，
∴平面
(3)证明：∵⊥平面，平面，
∴，又，，平面，
平面.又平面，∴.
又，点是的中点，∴，
又,平面，
∴⊥平面.
∵平面，∴.
考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥
21、（1）
（2）
【解析】（1）用数量积的坐标运算表示出，有，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得；（2）化简，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为
，再变形得，由可得结论
试题解析：（1）∵，∴，即，
，，
∵，，∴，∴
（2）由题知：，整理得，
∴，∴，∴或，
而使，舍去，∴，
∴
考点：数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式