2025年黑龙江省佳木斯一中高一数学第一学期期末复习检测试题含解析.doc

2025年黑龙江省佳木斯一中高一数学第一学期期末复习检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数在 上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（）
A.10 B.9
C.8 D.6
3．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是　　

A.
B.
C.
D.
4．如图，在平面四边形中，，将其沿对角线对角折成四面体，使平面⊥平面,若四面体的顶点在同一球面上，则该求的体积为

A. B.
C. D.
5．下列关系式中，正确的是
A. B.
C. D.
6．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）

A. B.
C. D.
7．已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A.3 B.
C.9 D.
8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A.向左平移 B.向右平移
C.向右平移 D.向左平移
9．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合
A. B.
C. D.
10．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数满足，且在区间上，则的值为____
12．已知函数
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
13．扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的面积为______
14．已知则_______.
15．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
（1）求函数的解析式；
（2）设，且，求的值
16．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数
当时，求函数的零点；
若，当时，求x的取值范围
18．已知函数是定义在上的偶函数，且.
（1）求实数的值，并证明；
（2）用定义法证明函数在上增函数；
（3）解关于的不等式.
19．已知函数.
（1）当时，用定义法证明函数在上是减函数；
（2）已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求的取值范围.
20．已知四棱锥,其中面为的中点.

（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）求四棱锥的体积.
21．已知函数（为常数）是奇函数.
（1）求的值与函数的定义域.
（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先化简，再令，求出范围，根据在上有两个零点，作图分析，求得的取值范围.
【详解】，由，又，
则可令，
又函数在上有两个零点，作图分析：

则，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.
2、A
【解析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论
【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)
在的图象.画出函数，的图象；
令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象
由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为.

故选：A
3、C
【解析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果
【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，，
由线面垂直的判定定理得平面，所以,
所以异面直线与所成的角的大小是
故选C
本题主要考查了直线与平面垂直判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题
4、A
【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；
所以球的体积为：
故答案选：A
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
5、C
【解析】不含任何元素的集合称为空集，即为，而代表由单元素0组成的集合，
所以，
而与的关系应该是.
故选C.
6、B
【解析】由图中阴影部分可知对应集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.
【详解】解：由图中阴影部分可知对应集合为

全集，2，3，4，，集合，，，3，，
=，=
故选：
7、A
【解析】根据扇形面积公式求出半径.
【详解】扇形的面积，解得：
故选：A
8、B
【解析】根据左右平移的平移特征（左加右减）即可得解.
【详解】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.
故选：B.
9、A
【解析】,所以，故选A.
考点：集合运算.
10、A
【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，
因此.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
详解：由得函数的周期为4，所以因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
12、（1）
（2）
【解析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；
（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】

，，
利用余弦函数的性质知，则
【小问2详解】
，
又，，
则
则
13、2
【解析】根据扇形的面积公式即可求解.
【详解】解：因为扇形的半径为2，弧长为2，
所以该扇形的面积为，
故答案为：2.
14、
【解析】因为，
所以
15、（1）
（2）
【解析】（1）根据函数的最值求出，由相邻两条对称轴之间的距离为，确定函数的周期，进而求出值；
（2）由，求出，利用诱导公式结合的范围求出，的值，即可求出结论.
【小问1详解】
函数的最大值为5，所以A+1＝5，即A＝4
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2
故函数的解析式为.
【小问2详解】
，则
由，则，所以

所以
16、2
【解析】令，证得为奇函数，从而可得在的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.
【详解】设，定义域为,
则，
所以，
即，所以为奇函数，
所以在的最大值和最小值之和为0，
令，则
因为，
所以函数的最大值为，最小值为，
则，
∴
故答案为：2.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】由分段函数解析式可得时无零点；讨论，，解方程即可得到所求零点；
求得的解析式，讨论，，解不等式组即可得到所求范围
【详解】解：函数，
可得时，无解；
当时，无解；
当时，即，可得；
综上可得时，无零点；
时，零点为；
，，
当时，
即有或，
可得或且，
综上可得x的范围是
【点睛】本题考查分段函数、函数零点和解不等式等知识，属于中档题
18、（1），证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）由偶函数性质求，由列方程求，再证明；
（2)利用单调性定义证明函数的单调性；
(3)利用函数的性质化简可求.
【小问1详解】
因为函数是定义在R上的偶函数
∴
，综上，
从而
【小问2详解】
证明：因为
设，所以
又，∴
所以
∴在上为增函数；
【小问3详解】
∵.
∵偶函数在上为增函数．在上为减函数
∴
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在上为减函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（2）设，由题意可得，，的方程，解得，，，可得，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围
【详解】解：（1）在上为减函数
证明：设，，
由，可得，，即，即有，
所以在上为减函数；
（2）设，则，
由，可得，
则，，
解得，，
即有，
不等式恒成立，即为，即对恒成立，
由，当时，取得最小值，
可得
即的取值范围是
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）取中点，连接，根据三角形的中位线，得到四边形为平行四边形，进而得到，再结合线面平行的判定定理，即可证明面；（2）根据为等边三角形，为的中点，面，得到，根据线面垂直的判定定理得到面，则面，再由面面垂直的判定定理，可得面面；（3）连接，可得四棱锥分为两个三棱锥和，利用体积公式，即可求解三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明：取中点，连接 分别是 的中点，,且与 平行且相等，为平行四边形，，又面面面.

（2）证明：为等边三角形，,又面面垂直于面的两条相交直线面面面面面.
（3）连接,该四棱锥分为两个三棱锥和.

21、（1），定义域为或；（2）.
【解析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域；
（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果.
【详解】（1）因为函数是奇函数，
所以，所以，
即，
所以，令，解得或，
所以函数的定义域为或；
（2），
当时，所以，所以.
因为，恒成立，
所以，所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.