2025-2026学年山西省阳泉市阳泉中学数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年山西省阳泉市阳泉中学数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是　(　　)

A.AB B.AD
C.BC D.AC
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线所成的角等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4．已知，则的最小值是（ ）
A.2 B.
C.4 D.
5．下列与的终边相同的角的集合中正确的是（）
A. B.
C. D.
6．已知函数在上存在零点，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）

A. B.
C. D.
8．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是

A.①② B.②③
C.③④ D.②④
9．下列选项中，与的值不相等的是（ ）
A B.cos18°cos42°﹣sin18°sin42°
C. D.
10．=（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知为三角形的边的中点，点满足，则实数的值为_______
12．在中，，，与的夹角为，则_____
13．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.

14．已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________.
15．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
16．若是幂函数且在单调递增，则实数_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，.
（1）若，求函数的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
18．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
顶点C的坐标； 
直线MN的方程
19．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数，且满足.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）设函数，求在区间上的最大值；
（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.
21．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，
（1）求函数的“稳定点”；
（2）求证：；
（3）若，且，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用函数的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，不满足题意，故A不正确；
对于B，一个自变量对应多个值，不符合函数的概念，故B不正确；
对于C，函数的值域为，不符合题意，故C不正确；
对于D，函数的定义域为，值域为，满足题意，故D正确.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的概念以及函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，理解函数的概念是解题的关键，属于基础题.
2、D
【解析】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC.
故选D.
3、C
【解析】在正方体中，连接，则，
则异面直线和所成的角就是相交直线和所成的角，即，
在等边三角形中，，故选C
4、C
【解析】根据对数运算和指数运算可得,,再由以及基本不等式可得.
【详解】因为,
所以,所以,
所以,
所以,
当且仅当即时,等号成立.
故选:C.
【点睛】本题考查了指数和对数运算,基本不等式求最值,属于中档题.
5、C
【解析】由任意角的定义判断
【详解】，故与其终边相同的角的集合为或
角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意
故选：C
6、A
【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知,,解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】因为在上单调递增,
根据零点存在定理可得,
解得.
故选:A
【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题.
7、A
【解析】先通过观察图像可得A和周期，根据周期公式可求出，再代入最高点坐标可得.
【详解】由图像得，，
则，，，

得，又，
.
故选：A.
8、D
【解析】图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同．故选D
9、C
【解析】先计算的值，再逐项计算各项的值，从而可得正确的选项．
【详解】．
对于A，因为，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，，故C错误．
对于D，，故D正确．
故选：C．
10、B
【解析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值直接计算作答.
【详解】.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据向量减法的几何意义及向量的数乘便可由得出, 再由D为△ABC的边BC的中点及向量加法的平行四边形法则即可得出点D为AP的中点，从而便可得出，这样便可得出λ的值
【详解】=,所以，D为△ABC的边BC中点，∴∴如图，D为AP的中点；

∴,又，所以-2.故答案为-2.
【点睛】本题考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，及向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，属于中档题.
12、
【解析】利用平方运算可将问题转化为数量积和模长的运算，代入求得，开方得到结果.
【详解】

【点睛】本题考查向量模长的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转变为向量的数量积和模长的运算，属于常考题型.
13、10
【解析】根据分层抽样原理求出抽取的人数
【详解】解：根据分层抽样原理知，，
所以在大一青年志愿者中应选派10人
故答案为：10
14、
【解析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.
【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形弧长为，即，由扇形面积得：，解得，
所以该扇形的圆心角(正角)为.
故答案为：
15、
【解析】按a值对函数进行分类讨论，再结合函数的性质求解作答.
【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16、2
【解析】由幂函数可得，解得或2，检验函数单调性求解即可.
【详解】为幂函数，所以，解得或2.
当时，，在不单调递增，舍去；
当时，，在单调递增成立.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）见解析.
【解析】(1)由求a的值即可；
(2)根据a的大小分类讨论即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
任取，且，则，，
，
①时，，在单调递增；
②时，
(i)时，单调递减；
(ii)时，单调递增；
即时，f(x)在单调递减，在单调递增；
③时，
，在单调递减.
综上所述，
时，在单调递增；
时，f(x)在单调递减，在单调递增；
时，在单调递减.
18、（1）；（2）
【解析】（1）边AC中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标
（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程
解：（1）设点C（x，y），
∵边AC的中点M在y轴上得=0，
∵边BC的中点N在x轴上得=0，
解得x=﹣5，y=﹣3
故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）
（2）点M的坐标是（0，﹣），
点N的坐标是（1，0），
直线MN的方程是=，
即5x﹣2y﹣5=0
点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况
19、（1），；
（2）为定义在上的减函数，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得；
（2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论；
（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为，结合的范围可求得，由此可得结果.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，且，
，解得：，，
，解得：；
当，时，，，满足为奇函数；
综上所述：，；
【小问2详解】
由（1）得：；
设，则，
，，，，
是定义在上的减函数；
【小问3详解】
由得：，又为上的奇函数，
，，
由（2）知：是定义在上的减函数，，即，
当时，，，即实数的取值范围为.
20、 (1)见解析(2) 时，.(3)
【解析】（1）根据确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得，设,转化为方程方程在有两个不等的根，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m的取值范围.
试题解析：(1) 由，得或0.
因为，所以，所以.
当时，，任取，且，
则，
因为，则，，
所以在上为增函数；
（2），
当时，，
因为，所以当时，；
当时，，
因为时，所以，所以当时，；
综上，当即时，.
（3）由（1）可知，在上为增函数,当时，.
同理可得在上为减函数，当时，.
方程可化为，
即.
设,方程可化为.
要使原方程有4个不同的正根，
则方程在有两个不等的根，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.
21、（1）“稳定点”；（2）见解析；（3）
【解析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数的“稳定点”只需求方程中的值，即为“稳定点”
若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足.
先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.
【详解】（1）由有，得：，所以函数的“稳定点”为；
（2）证明：若，则，显然成立；
若，设，有，则有，
所以，故
（3）因为，所以方程有实根，即有实根，
所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左边含有因式
所以，又，
所以方程要么无实根，要么根是方程的解，
当方程无实根时，或，即，
当方程有实根时，则方程的根是方程的解，
则有，代入方程得，故，
将代入方程，得，所以.
综上：的取值范围是.
【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.
需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.