2026届江苏省睢宁县高级中学数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

2026届江苏省睢宁县高级中学数学高一上期末经典模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是（　　）
A. B.
C. D.
3．已知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（）
A. B.3
C. D.4
4．过点且与直线垂直的直线方程为
A. B.
C. D.
5．若，，则的值为（ ）
A. B.－
C. D.
6．已知函数，则（ ）
A.当且仅当时，有最小值为
B.当且仅当时，有最小值为
C.当且仅当时，有最大值为
D.当且仅当时，有最大值为
7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直相交 D.异面且垂直
9．设函数的定义域，函数的定义域为,则=
A. B.
C. D.
10．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂
足．若，则到平面的距离等于

A. B.
C. D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数最大值为__________
12．函数的定义域为__________________ .
13．设向量，，则__________
14．在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则__________
15．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）
16．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，
（1）设，若是偶函数，求实数的值；
（2）设，求函数在区间上的值域；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围
18．如图所示，四棱锥的底面 是边长为1的菱形，，
E是CD中点，PA底面ABCD，
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小

19．定义在R上的函数对任意的都有，且，当时.
（1）求的值，并证明是R上的增函数；
（2）设，
（i）判断的单调性（不需要证明）
（ii）解关于x的不等式.
20．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x与利润y（单位：万元）分别满足函数关系与

（1）求，与，的值；
（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值
21．已知x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求元素x满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由题意可得，由的范围可得的范围，再求其补集即可求解.
【详解】由可得，
因为，所以，
若命题“存在，使得等式成立”是假命题，
则实数 的取值范围是，
故选：D.
2、A
【解析】画出图象如下图所示,直线与所成的角为,其余弦值为.故选A.

3、B
【解析】根据，得到，从而得到，进而得到，再利用“1”的代换以及基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，
所以，则，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B
4、D
【解析】所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，整理得，选D.
5、D
【解析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.
【详解】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
6、A
【解析】由基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：A.
7、C
【解析】可分析单调递减,即将题目转化为在上单调递增,分别讨论与的情况,进而求解
【详解】由题可知单调递减,因为在上单调递减,则在上单调递增,
当时,在上单调递减,不符合题意,舍去；
当时,,解得,即
故选C
【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用,考查复合函数单调性问题,考查解不等式
8、D
【解析】由菱形ABCD平面内,则对角线,又, 可得平面,进而可得,又显然，PA与BD不在同一平面内，可判断其位置关系.
【详解】假设PA与BD共面，根据条件点和菱形ABCD都在平面内，
这与条件相矛盾.
故假设不成立，即PA与BD异面.
又在菱形ABCD中，对角线，
，，则且，
所以平面平面.
则,
所以PA与BD异面且垂直.
故选：D
【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题.
9、B
【解析】由题意知, ,所以，故选B.
点睛：集合是高考中必考知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错
10、C
【解析】如图，在平面内过点作于点

因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离
在中，因为，所以
因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.
详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案为3.
点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.
12、
【解析】由 ，解得 ，所以定义域为
考点：本题考查定义域
点评：解决本题关键熟练掌握正切函数的定义域
13、
【解析】，故，故填.
14、
【解析】因为点在平面上的射影为点, 在平面上的射影为点，所以由两点间距离公式可得 ，故答案为.
15、（1）；
（2）5年；（3）17年.
【解析】（1）设森林面积的年增长率为，则，解出，即可求解；
（2）设该地已经植树造林年，则，解出的值，即可求解；
（3）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，再结合对数函数的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设森林面积的年增长率为，则，解得
【小问2详解】
解：设该地已经植树造林年，则，
，解得，
故该地已经植树造林5年
【小问3详解】
解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，，
，
，即取17，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年
16、
【解析】反比例函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则，还要满足在上单调递增，故求出结果
【详解】函数
根据反比例函数的性质可得：在区间上单调递减
要使函数在区间上单调递减，则
函数在上单调递增
则，解得
故实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了函数单调性的性质，需要注意反比例函数在每个象限内是单调递减的，而在定义域内不是单调递减的

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2) (3)
【解析】（1）根据偶函数定义得，再根据对数运算性质解得实数的值；（2）根据对数运算法则得，再求分式函数值域，即得在区间上的值域（3）设，将不等式化为，再分离变量得 且，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值范围.
试题解析：（1）因为是偶函数，
所以，
则恒成立，所以.
（2）
，
因为，所以，所以，
则，则，
所以，即函数的值域为.
（3）由，得，
设，则，设
若则，由不等式对恒成立，
①当，即时，此时恒成立；
②当，即时，由解得；
所以；
若则，则由不等式对恒成立，
因为，所以 ，只需，解得；
故实数的取值范围是.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
18、（I）同解析（II）二面角的大小为
【解析】解：解法一（I）如图所示, 连结

由是菱形且知，
是等边三角形.因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而 因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以
又所以 是二面角的平面角
在中,
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系

则相关各点的坐标分别是：

（I）因为平面PAB的一个法向量是 所以和 共线.
从而平面PAB.又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设 是平面PBE的一个法向量,
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是,
故二面角的大小为
19、（1），证明见解析
（2）（i）在上是单减单减函数（ii）
【解析】(1) 令可得，再可得答案，设，则，所以可证明单调性；
(2) （i）根据复合函数的单调性法则可得答案; （ii）由题意可得，，结合函数的单调性可得的解为，则原不等式等价于，从而可得答案.
【小问1详解】
在中，令可得，则
令可得，可得
任取且，则，所以
则
即，所以是R上的增函数
【小问2详解】
（i）由在上是单减单减函数，又单调递增
由复合函数的单调性规律可得在上是单减单减函数.
（ii）由，
所以的解为
从而不等式的解为
，即
即，整理可得
即，解得或，所以或
所以原不等式的解集为
20、（1），，，
（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为万元，此时总利润的最大值为31.5万元.
【解析】（1）代入点的坐标，求出，与，的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.
【小问1详解】
将代入中，
，解得：，
将代入中，
，解得：，
所以，，，.
【小问2详解】
设分配生产乙商品的投资为m（0≤m≤20）万元、甲商品的投资为万元，此时的总利润为w，
则，
因为0≤m≤20，所以当，即时，w取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为万元，此时总利润的最大值为31.5万元.
21、（1）x≠-1,且x≠0,且x≠3（2）x=-2.
【解析】(1)由集合中元素的互异性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,
解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.
故元素x满足的条件是x≠-1,且x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无解,所以x=-2.
点睛：已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验