河南省洛阳市名校2026届数学高一上期末学业质量监测试题含解析.doc

河南省洛阳市名校2026届数学高一上期末学业质量监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．有位同学家开了个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到一天所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系，其回归方程为＝－2.35x＋147.77．如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是
A.140 B.143
C.152 D.156
2．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）

A. B.
C. D.
3．下列函数中最小值为6的是（ ）
A. B.
C D.
4．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）且a＜b＜c，则ab+bc+ac的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
5． “”是“函数为偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（）
A.{－1} B.{0，1}
C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，3}
7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知为两条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（ ）
A.5 B.10
C.15 D.20
10．设集合，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）
12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，____________.
13．已知函数，对于任意都有，则的值为______________.
14．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_________.
15．已知，则__________
16．已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图像，图像关于对称；②函数这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.
已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）若在上的值域为，求a的取值范围；
（2）求函数在上的单调递增区间.
18．已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若 ，求实数的取值范围
在①；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
19．已知函数
（1）求的解析式，并证明为R上的增函数；
（2）当时，且的图象关于点对称．若，对，使得成立，求实数的取值范围
20．已知为第二象限角，且
（1）求与的值；
（2）的值
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E
（Ⅰ）若AB的长等于，求直线l的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得OE∥PQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】一个热饮杯数与当天气温之际的线性关系，其回归方程
某天气温为时，即
则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是
故选
点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程的应用，即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报的值，这是一些解答题
2、C
【解析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.
【详解】连接如下图所示，

分别是棱和棱的中点，
，
正方体中可知，
是异面直线所成的角，
为等边三角形，
.
故选：C.
【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.
3、B
【解析】利用基本不等式逐项分析即得.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当，即，等号不能成立，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
4、D
【解析】画出函数的图象，根据，，互不相等，且（a）（b）（c），我们令，我们易根据对数的运算性质，及，，的取值范围得到的取值范围
【详解】解：作出函数的图象如图，

不妨设，，，，，，
由图象可知，，则，解得，
，则，解得，
，
的取值范围为
故选．
【点睛】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题，属于中档题．
5、A
【解析】根据充分必要条件的定义判断
【详解】时，是偶函数，充分性满足，
但时，也是偶函数，必要性不满足
应是充分不必要条件
故选：A
6、C
【解析】由交集与补集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，
所以，
又全集U＝{－1，0，1，2，3}，
所以，
故选：C.
7、D
【解析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数是实数集上的减函数，不符合题意；
当时，二次函数的对称轴为：，
由题意有解得
故选：D
8、D
【解析】A中，有可能，故A错误；B中，显然可能与斜交，故B错误；C中，有可能，故C错误；D中，由得， ，又 所以，故D正确.
9、B
【解析】依据题意列出不等式即可解得V的最小值.
【详解】由，解得
则V的最小值为10.
故选：B
10、B
【解析】 ,选B.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、③④
【解析】根据新定义进行判断.
【详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数.③④是H函数.
③是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
是H函数.
④是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
H函数.
故答案为：③④
12、
【解析】因为角与角关于轴对称，
所以，，
所以，
所以
答案：
13、
【解析】由条件得到函数的对称性，从而得到结果
【详解】∵f＝f，
∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f＝±2.
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.
14、 (0,1)
【解析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围
【详解】令g（x）＝f（x）﹣m＝0，
得m＝f（x）
作出y＝f（x）与y＝m的图象，
要使函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，
则y＝f（x）与y＝m的图象有3个不同的交点，
所以0＜m＜1，
故答案为（0，1）

【点睛】本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点，要重视
15、
【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值
【详解】∵tanα=3，∴sinα•cosα .
故答案为.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题
16、
【解析】先判断函数奇偶性，再判断函数的单调性，从而把条件不等式转化为简单不等式.
【详解】由函数定义域为R，
且，
可知函数为奇函数.
，令
则，令
则即在定义域R上单调递增，
又，
由此可知，当时，即，函数即为减函数；
当时，即，函数即为增函数，
故函数在R上的最小值为，
可知函数在定义域为R上为增函数.
根据以上两个性质，不等式
可化为，
不等式等价于即
解之得或
故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），，.
【解析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数，
（1）由，得到，根据由正弦函数图像，即可求解；
（2）根据函数正弦函数的形式，求得，，进而得出函数的单调递增区间.
【详解】方案一：选条件①
由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得，解得，
所以，
又由函数的图象向右平移个单位长度得到，
又函数图象关于对称，可得，，
因为，所以，所以.
（1）由，可得，
因为函数在上的值域为，
根据由正弦函数图像，可得，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，，可得，，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
方案二：选条件②：
由
，
因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得，所以，
可得，
又由函数的图象向右平移个单位长度得到，
又函数图象关于对称，可得，，
因为，所以，所以.
（1）由，可得，
因为函数在上的值域为，
根据由正弦函数图像，可得，解得，
所以的取值范围为.
（2）由，，可得，，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为或的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.
18、（1）或
（2）
【解析】（1）根据集合的补集与交集定义运算即可；
（2）选①②③中任何一个，都可以转化为，讨论与求解即可
【小问1详解】
化简集合有
当时，，则或
故或
【小问2详解】
选①②③中任何一个，都可以转化为
（ⅰ）当时，，即时，
（ⅱ）当时，
若，则 ，解得
综上（ⅰ）（ⅱ），实数的取值范围是
19、（1）；证明见解析.
（2）
【解析】（1）由求出后可得的解析式，按照增函数的定义证明即可；
（2）求出函数在上的值域为，求出在上的最值，根据的最值都属于列式可求出结果.
【小问1详解】
依题意可得，解得，所以.
证明：任取，且，
则
，
因为，，所以，
所以为R上的增函数.
【小问2详解】
依题意，即，
当时，为增函数，，，
所以在上的值域为，
因为在上的最值只可能在或或处取得，
所以在上的最值只可能在或或处取得，
所以在上的最值只可能是或或，
因为的图像关于点对称，所以在上的最值只可能是或或，
所以在上的最值只可能是或或或或，
若，对，使得成立，
则的最值都属于，
所以，即，所以，所以，
又，所以.
【点睛】关键点点睛：（2）中，求出在上的最值，根据题意转化为的最值都属于是解题关键.
20、（1），；
（2）.
【解析】(1)结合同角三角函数关系即可求解；
(2)齐次式分子分母同时除以cosα化为tanα即可代值求解.
【小问1详解】
∵
∴，
∴，
∵为第二象限角，
故，
故；
【小问2详解】
.
21、（Ⅰ）y=-+2或y=-x+2；（Ⅱ）不存在实数满足题意
【解析】（Ⅰ） 待定系数法，设出直线，再根据已知条件列式，解出即可；
（Ⅱ） 假设存在常数，将转化斜率相等，联立直线与圆，根据韦达定理，由直线与圆相交可求得范围．由斜率相等可求得的值，从而可判断结论
【详解】（Ⅰ）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）
设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2
∵|AB|=，∴圆心Q到直线l的距离d==，
∴=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-
所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2
（Ⅱ）将直线l的方程y=x+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0
整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0.　　①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于
△=[4（k-3）2]-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，
解得-＜k＜0，即k的取值范围为（-，0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点E（x0，y0）满足
x0==-，y0=kx0+2=
∵kPQ==-，kOE==-，
要使OE∥PQ，必须使kOE=kPQ=-，解得k=-，
但是k∈（-，0），故没有符合题意的常数k
【点睛】本题考查了圆的标准方程及弦长计算,还考查了直线与圆相交知识，直线平行知识，中点坐标公式，韦达定理的应用，考查了转化思想，属中档题