江苏省连云港市灌南县第二中学2025年高一数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

江苏省连云港市灌南县第二中学2025年高一数学第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “”是“函数在内单调递增”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
2．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间单调递减；
③在有个零点；④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
3．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
5．已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：
①∥ ②⊥∥ ③∥⊥ ④⊥∥其中正确命题的序号是
A.①③ B.②③④
C.①②③ D.②④
6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（）
A. B.
C. D.
7．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（）

A. B.
C. D.
8．已知与分别是函数与的零点，则的值为　　
A. B.
C.4 D.5
9．若方程在区间内有两个不同的解，则
A. B.
C. D.
10．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数 若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是_______.
12．已知，若，则________
13．已知幂函数的图象经过点，那么α=___________.
14．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________
15．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是___________
16．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则下列结论正确的是_____．（填序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④sin∠PDA

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：.
（2）化简：.
18．已知函数，，其中a为常数
当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由；
设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围
19．已知函数
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围
20．已知函数满足，且.
（1）求a和函数的解析式；
（2）判断在其定义域的单调性.
21．新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由函数在内单调递增得，进而根据充分，必要条件判断即可.
【详解】解：因为函数在内单调递增，
所以，
因为是的真子集，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件
故选：A
2、A
【解析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数在区间上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由取最大值知，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.
【详解】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；
对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；
对于命题③，当时，，则，
当时，，则，
由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；
对于命题④，若函数取最大值时，，则，
，当时，函数取最大值，命题④正确.
因此，正确的命题序号为①②④.
故选A.
【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.
3、A
【解析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.
【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点
而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但
所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
4、A
【解析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.
【详解】如图，设，，
已知均为单位向量，

故四边形为菱形，所以平分，
由
得，又与有公共点，
故三点共线，
所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.
故选：A.
5、A
【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.
【详解】②若，则与不一定平行，还可能为相交和异面；④若，则与不一定平行，还可能是相交.
故选A.
【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、垂直的性质定理和判断定理.
6、B
【解析】根据终边关于y轴对称可得关系，再利用诱导公式，即可得答案；
【详解】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴，
∵，
∴
故选：B.
【点睛】本题考查角的概念和诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
7、C
【解析】设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，圆的半径为，依题意可得，解得；
故选：C
8、D
【解析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，
联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解
【详解】解：由，化简得，
设，，
由，互为反函数，其图象关于直线对称，
作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，

联立得；，
由中点坐标公式得：，
所以，
故选D
【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.
9、C
【解析】由，得，
所以函数的图象在区间内的对称轴为
故当方程在区间内有两个不同的解时，则有
选C
10、D
【解析】根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】令f（t）＝2，解出t，则f（x）＝t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可
【详解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）
∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，
∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）
（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；
（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1无解，f（x）无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；
（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）＝﹣1有1解，
∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，
∴1，解得﹣1＜k
综上，k的取值范围是（﹣1，]
故答案为（﹣1，]
【点睛】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题
12、1
【解析】由已知条件可得，构造函数，求导后可判断函数在上单调递增，再由，得，从而可求得答案
【详解】由题意得，
，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以，所以，
故答案为：1
13、3
【解析】根据幂函数的图象经过点，由求解.
【详解】因为幂函数的图象经过点，
所以，
解得，
故答案：3
14、
【解析】设直线l的方程是y=k（x-3）+4，
它在x轴、y轴上的截距分别是﹣+3，-3k+4，
且﹣+3<0, -3k+4>0
由已知，得（-3k+4）（﹣3）=6，
解得k1=或k2=
所以直线l的方程为：
故答案为
15、
【解析】根据所给弦长，圆心角求出所在圆的半径，利用扇形面积公式求解.
【详解】由弦长为2，圆心角为2可知扇形所在圆的半径，
故，
故答案为：
16、④
【解析】由题意,分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可得到答案.
【详解】∵PA⊥平面ABC，如果PB⊥AD，可得AD⊥AB，但是AD与AB成60°，∴①不成立，
过A作AG⊥PB于G，如果平面PAB⊥平面PBC，可得AG⊥BC，∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，矛盾，所以②不正确；
BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，所以③不正确；
在Rt△PAD中，由于AD＝2AB＝2PA，∴sin∠PDA，所以④正确；

故答案为: ④
【点睛】本题考查线面位置关系判定与证明,考查线线角,属于基础题.熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；
（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；
【详解】解：（1）

（2）

18、（1）见解析；（2），
【解析】代入a的值，求出的解析式，判断函数的单调性即可；
由题意把函数有且仅有一个零点转化为有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可
【详解】（1）由题意，当时，，则，
因为，又由在递减，
所以递增，
所以根据复合函数的单调性，可得函数在单调递增函数；
由，得，即，
若函数有且只有1个零点，
则方程有且只有1个实数根，
化简得，
即有且只有1个实数根，
时，可化为，即，
此时，满足题意，
当时，由得：
，解得：或，
当即时，方程有且只有1个实数根，
此时，满足题意，
当即时，
若是的零点，则，解得：，
若是的零点，则，解得：，
函数有且只有1个零点，所以或，，
综上，a的范围是，
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由定义证明即可；
（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围
小问1详解】
任取，且，

因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
【小问2详解】
任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
20、（1）；；（2）在其定义域为单调增函数.
【解析】（1）由，可得，再由，可求出的值，从而可得函数的解析式；
（2）利用函数的单调性定义进行判断即可
【详解】解：（1）由，
得，
，
得；
所以；
（2）该函数的定义域为，
令，所以，
所以
，
因为，，
所以，
所以在其定义域为单调增函数.
21、（1）；
（2）年产量为30万台，利润最大.
【解析】（1）根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式.
（2）利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解.
小问1详解】
，
∴.
【小问2详解】
当时，，故在上单调递增，
∴时，取最大值，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴当时，，
综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.