辽宁省辽河油田第二中学2025年数学高一上期末监测试题含解析.doc

辽宁省辽河油田第二中学2025年数学高一上期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ）
A.40 B.
C. D.
2．设集合，则是
A. B.
C. D.有限集
3．已知集合，则中元素的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
4．设向量不共线，向量与共线，则实数（　　）
A. B.
C.1 D.2
5．已知函数f（x）=loga（x+1）（其中a＞1），则f（x）＜0的解集为（　　）
A. B.
C. D.
6．下图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，分别为的中点.在此几何体中，下列结论中错误的为

A.直线与直线共面 B.直线与直线是异面直线
C.平面平面 D.面与面的交线与平行
7．函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点是（ ）
A.（1，﹣1） B.（0，0）
C.（0，﹣1） D.（﹣1，0）
8．直线截圆所得的线段长为（）
A.2 B.
C.1 D.
9．若函数y=f（x）图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y=f（x）的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“黄金点对“有（　　）
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
10．如图，其所对应的函数可能是（ ）

A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设某几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________

12．计算_____________.
13．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是__．(请填写：相切、相交、相离)
14．给出如下五个结论：
①存在使 ② 函数是偶函数
③最小正周期为 ④若是第一象限的角，且，则
⑤函数的图象关于点对称
其中正确结论序号为______________
15．若，，则________.
16．________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，两相邻对称中心之间的距离为
（1）求函数的最小正周期和的解析式.
（2）求函数的单调递增区间.
18．已知函数．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
19．已知函数
（1）若，求不等式解集；
（2）若，求在区间上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x值；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围
20．已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.
（1）求M；
（2）若，对，有，求t的最小值.
21．（1）已知角的终边过点，且，求的值；
（2）已知，，且，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据已知和对数运算得，，再由指数运算和对数运算法则可得选项.
【详解】因为，，
故，.
∵，故.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题的关键在于：1、由已知得出抽象函数的周期；2、根据函数的周期和对数运算法则将自变量转化到已知范围中，可求得函数值.
2、C
【解析】根据二次函数和指数函数的图象和性质，分别求出两集合中函数的值域，求出两集合的交集即可
【详解】由集合S中的函数y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；
由集合T中的函数y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，则S∩T＝S
故选C
【点睛】本题属于求函数值域，考查了交集的求法，属于基础题
3、A
【解析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数
【详解】∵集合∴A∩B＝{3}，
∴A∩B中元素的个数为1
故选A
【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用
4、A
【解析】由向量共线定理求解
【详解】因为向量与共线，所以存在实数，使得，
又向量不共线，所以，解得
故选：A
5、D
【解析】因为已知a的取值范围，直接根据根据对数函数的单调性和定点解出不等式即可
【详解】因为，
所以在单调递增，
所以
所以，解得
故选D
【点睛】在比较大小或解不等式时，灵活运用函数的单调性以及常数和对指数之间的转化
6、C
【解析】画出几何体的图形，如图，
由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确
C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确
D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确
故答案选C
7、D
【解析】由，可得当时，可求得函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）所过定点.
【详解】因为，
所以当时有，，
即当时，，
则当时，，
所以当时，恒有函数值.
所以函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点.
故选：D
【点睛】本题考查指数函数的图像性质，函数图像过定点，还可以由图像间的平移关系得到答案，属于基础题.
8、C
【解析】先算出圆心到直线的距离，进而根据勾股定理求得答案.
【详解】圆，即圆心.圆心C到直线的距离，则直线截圆所得线段长为：.
故选：C.
9、D
【解析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可
【详解】
由题意知函数f（x）=2x，x＜0关于y轴对称的函数为，x＞0，
作出函数f（x）和，x＞0的图象，
由图象知当x＞0时，f（x）和y=（）x，x＞0的图象有3个交点
所以函数f（x）的““黄金点对“有3对
故选D
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键
10、B
【解析】代入特殊点的坐标即可判断答案.
【详解】设函数为，由图可知，，排除C,D，又，排除A.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】根据三视图确定该几何体为三棱锥，由题中数据，以及棱锥的体积公式，即可求出结果.
【详解】由三视图可得：该几何体为三棱锥，
由题中数据可得：该三棱锥的底面是以为底边长，以为高的三角形，三棱锥的高为，
因此该三棱锥的体积为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求体积的问题，熟记棱锥的结构特征，以及棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
12、
【解析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果
【详解】由题意得

故答案为：
【点睛】易错点睛：本题考查三角恒等化简，本题的关键是通分后用正弦的差角公式，在由化成时注意角的顺序，这是容易出错的地方，考查运算能力，属于中档题.
13、相交
【解析】求得的圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结论.
【详解】圆的圆心为、半径为，
圆心到直线的距离为，小于半径，
所以直线和圆相交，故答案为相交.
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答.
14、②③
【解析】利用正弦函数的图像与性质，逐一判断即可.
【详解】对于①，，，故错误；
对于②，，显然为偶函数，故正确；
对于③，∵y＝sin（2x）的最小正周期为π，
∴y＝|sin（2x）|最小正周期为．故正确；
对于④，令 α，β，满足，但，故错误；
对于⑤，令则故对称中心为，故错误.
故答案为：②③
【点睛】本题主要考查三角函数图象与性质，考查辅助角公式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题
15、
【解析】，然后可算出的值，然后可得答案.
【详解】因为，，
所以，所以，
所以，，因为，所以，
故答案为：
16、
【解析】根据对数运算、指数运算和特殊角的三角函数值，整理化简即可.
【详解】.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）根据相邻对称中心之间间隔可求得最小正周期和，由此可得解析式；
（2）令，解不等式即可得到所求单调递增区间.
小问1详解】
两相邻对称中心之间的距离为，的最小正周期，
，解得：，；
【小问2详解】
令，解得：，
的单调递增区间为.
18、（1）定义域为（﹣1，3）；f（x）的单调增区间为（﹣1，1]，f（x）的单调减区间为[1，3）；（2）当x＝1时，函数f（x）取最大值1；（3）a≥﹣2．
【解析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；
（2）根据函数的单调性即可求解；
（3）将f（x）≤g（x）转化为x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2
19、（1）
（2）当时函数取得最小值，，当时函数取得最大值；
（3）
【解析】（1）根据，代入求出参数的值，再解一元二次不等式即可；
（2）首先由求出的值，再根据二次函数的性质求出函数在给定区间上的最值；
（3）参变分离可得对任意恒成立，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解；
【小问1详解】
解：因为且，所以，解得，所以，解，即，即，解得，即原不等式的解集为；
【小问2详解】
解：因为，所以，所以，所以，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数取得最小值，当时函数取得最大值；
【小问3详解】
解：因为对任意，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立，因为当且仅当，即时取等号；
所以，即，所以
20、（1）
（2）1
【解析】（1）分类讨论即可求得实数a的所有取值构成的集合M；
（2）先求得的最大值2，再解不等式即可求得t的最小值.
【小问1详解】
当时，满足题意；
当时，要使不等式的解集为R，
必须，解得，
综上可知，所以
【小问2详解】
∵，∴，
∴，（当且仅当时取“=”）
∴，
∵，有，∴，
∴，∴或，
又，∴，∴ t的最小值为1.
21、（1）；（2）
【解析】（1）利用三角函数的定义求出，再根据三角函数的定义求出、即可得解；
（2）根据同角三角函数的基本关系求出、，再根据两角差的余弦公式求出，即可得解；
【详解】解：（1）因为角的终边过点，且，
所以，解得，即，所以，
所以，，
所以；
（2）因为，，所以，
又，，所以，
所以
所以

，
因为
所以