2025年河南省淅川县第一高级中学高一数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年河南省淅川县第一高级中学高一数学第一学期期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点所在的区间（ ）
A. B.
C. D.
2．设，则（）
A. B.a
C. D.
3．已知角终边经过点，且，则的值是（）
A. B.
C. D.
4．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）
A. B.
C. D.
5．数向左平移个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，则　　
A.为奇函数 B.的最大值为1
C.的一个对称中心为 D.的一条对称轴为
6．对于每个实数x，设取两个函数中的较小值.若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为,则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A.向左平移个单位长度得到 B.向右平移个单位长度得到
C.向左平移个单位长度得到 D.向右平移个单位长度得到
8．已知集合，则（ ）
A. B.或
C. D.或
9．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A. B.
C. D.
10．三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是

①与是异面直线；
②与异面直线，且
③面
④
A.② B.①③
C.①④ D.②④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是________
12．若，，则a、b的大小关系是______．（用“＜”连接）
13．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为________
14．设是第三象限的角，则的终边在第_________象限.
15．若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为_____
16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形．若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，已知为线段的中点，顶点，的坐标分别为，.
（Ⅰ）求线段的垂直平分线方程；
（Ⅱ）若顶点的坐标为，求垂心的坐标.
18．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．在平面四边形中（如图甲），已知，且现将平面四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点分别为的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求的长.
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些风眼莲（其覆盖面积为），这些风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与）可供选择
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份．（参考数据：，）
21．设函数的定义域为集合的定义域为集合
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】，
，
零点定理知，
的零点在区间上
所以选项是正确的
2、C
【解析】由求出的值，再由诱导公式可求出答案
【详解】因为，所以，
所以，
故选：C
3、A
【解析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求.
【详解】由题设，，可得，
所以.
故选：A
4、B
【解析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间
【详解】解：函数在其定义域上单调递增，
（2），（1），
（2）（1）
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选
【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题
5、D
【解析】利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的图象，得出结论
【详解】向左平移个单位，再向上平移1个单位后，
可得的图象，
在根据所得图象和的图象重合，故，
显然，是非奇非偶函数，且它的最大值为2，故排除A、B；
当时，，故不是对称点；
当时，为最大值，故一条对称轴为，故D正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
6、C
【解析】如图，作出函数的图象，其中，

设与动直线的交点的横坐标为，
∵图像关于对称
∴
∵
∴
∴
故选C
点睛：本题首先考查新定义问题，首先从新定义理解函数，为此解方程，确定分界点，从而得函数的具体表达式，画出函数图象，通过图象确定三个数中具有对称关系，，因此只要确定的范围就能得到的范围.
7、A
【解析】先利用辅助角公式将函数变形，然后利用图象的平移变换分析求解即可
【详解】解：函数，
将函数图象向左平移个单位可得的图象
故选：
8、C
【解析】直接利用补集和交集的定义求解即可.
【详解】由集合，
可得：或，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本该考查了集合的运算，解决该题的关键是掌握补集和交集的定义..
9、B
【解析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.时，利用两条直线垂直可得：，解得.联立方程解出即可得出.
【详解】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.
时，由两条直线垂直可得：，解得.
综上可得：.
联立，解得，.∴这两条直线的交点坐标为.
故选：
【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】对于①，都在平面内，故错误；对于②，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形是正三角形，是中点，故与是异面直线，且，故正确；对于③，上底面是一个正三角形，不可能存在平面，故错误；对于④，所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故错误.
故选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】因为,所以
即的取值范围是.
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等
12、
【解析】容易看出，＜0，＞0，从而可得出a，b的大小关系
【详解】，＞0，,∴a＜b
故答案为a＜b
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，考查对数函数和指数函数的值域．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13、
【解析】连接AC交BD于O点，设交面于点E，连接OE，则角CEO就是所求的线面角，因为AC垂直于BD ，AC垂直于，故AC垂直于面.设正方体的边长为2，则OC=，OE=1，CE，此时正弦值为
故答案为.
点睛：求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；高二时还会学到空间向量法，可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．
14、二或四
【解析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.
【详解】因为是第三象限角，所以，，
所以，，
当为偶数时，为第二象限角，
当为奇数时，为第四象限角.
故答案为：二或四.
15、
【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程,点在圆外,则圆心到直线的距离,从而得解.
【详解】∵圆标准方程为，
∴圆心坐标（，），半径r，
若点（1，﹣1）在圆外，
则满足k，且k＞0，
即﹣2＜k，
即实数k的取值范围是（﹣2，）.
故答案为: （﹣2，）
【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围,属于基础题.
16、
【解析】由题设知，四面体ABCD的外接球也是与其同底等高的三棱柱的外接球，球心为上下底面中心连线EF的中点 ,所以，
所以球的半径
所以，外接球的表面积 ，所以答案应填：

考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的表面积

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】（1）根据中点坐标公式求中点坐标，根据斜率公式求斜率，最后根据点斜式求方程（2）根据垂心为高线的交点，先根据点斜式求两条高线方程，再解方程组求交点坐标，即得垂心的坐标.
试题解析：（Ⅰ）∵的中点是，直线的斜率是-3，线段中垂线的斜率是，故线段的垂直平分线方程是，即；
（Ⅱ）∵，∴边上的高所在线斜率∵
∴边上高所在直线的方程：，即
同理∴边上的高所在直线的方程:
联立和，得：，∴的垂心为
18、（1）；
（2）8.
【解析】（1）根据三角函数的定义即可求得答案；
（2）根据三角函数的定义求出，然后用诱导公式将原式化简，进而进行弦化切，最后求出答案.
【小问1详解】
由题意，，所以.
【小问2详解】
由题意，，则原式
.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）先证明平面又，则平面进而即可证明平面平面；
（2）由，结合面积体积公式求解即可
【详解】（1）在图乙中，
平面平面且平面平面，
底面

又，且
平面
而分别是中点，

平面
又平面
平面平面.
（2）由（1）可知，平面，

设，则.
，

即.
20、（1）函数模型较为合适，且该函数模型的解析式为；（2）月份.
【解析】（1）根据两个函数模型增长的快慢可知函数模型较为合适，将点、代入函数解析式，求出、的值，即可得出函数模型的解析式；
（2）分析得出，解此不等式即可得出结论.
【详解】（1）由题设可知，两个函数、）在上均为增函数，
随着的增大，函数的值增加得越来越快，
而函数的值增加得越来越慢，
由于风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型满足要求.
由题意可得，解得，，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，故元旦放入凤眼莲的面积为，
由，即，故，
由于，故.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是月份.
【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性
21、（1）
（2）
【解析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；
（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由，解得或，
所以

当时，由，即，解得，
所以．所以
小问2详解】
由（1）知，
由，即，解得，
所以
因为“”是“”的必要条件，
所以．所以，解得
所以实数的取值范围是