2025年江西省宜春市万载中学数学高二第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年江西省宜春市万载中学数学高二第一学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（ ）
A.25或－5 B.25
C.5 D.21或－9
2．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）
A. B.
C. D.
3．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的，输出的，则判断框中可以填（）

A. B.
C. D.
4．在等差数列中，若，则（）
A.6 B.9
C.11 D.24
5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
6．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（）
A.20 B.36
C.60 D.72
7．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C若，则 D.若，则
8．运行如图所示程序后，输出的结果为（）

A.15 B.17
C.19 D.21
9．函数图象的一个对称中心为（）
A. B.
C. D.
10．已知，若是函数一个零点，则的值为( )
A.0 B.
C.1 D.
11．设，，，则，，大小关系是　　
A. B.
C. D.
12．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）
A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点
C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有一组数据，其平均数为3 ，方差为2，则新的数据 的方差为________.
14．已知直线与曲线，在曲线上随机取一点，则点到直线的距离不大于的概率为__________.
15．已知，则正整数___________.
16．过圆上一点的圆的切线的一般式方程为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C：的焦距为，点在C上
（1）求C的方程；
（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线：上任意一点，设直线RM，RQ，RN的斜率分别为，，，若，，成等差数列，求的方程.
18．（12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，

（1）求动点Q的轨迹的方程E；
（2）过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标
19．（12分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆C与x轴正半轴的交点，直线AP的斜率为，若椭圆长轴长为8
（1）求椭圆C的方程；
（2）点Q为椭圆上任意一点，求面积的最大值
20．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.
21．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，______，求m的值
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：圆上一点P到直线的最大距离为；条件③：
22．（10分）已知一张纸上画有半径为4圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.
（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；
（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为直线：与：平行，
所以有，
因为两条平行直线：与：间距离为3，
所以，或，
当时，；
当时，，
故选：A
2、D
【解析】根据求解即可.
【详解】因为等比数列，，
所以.
故选：D
3、D
【解析】根据程序框图的算法功能，模拟程序运行即可推理判断作答.
【详解】由程序框图知，直到型循环结构，先执行循环体，条件不满足，继续执行循环体，条件满足跳出循环体，则有：
当第一次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第二次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第三次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第四次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第五次执行循环体时，，，条件满足，跳出循环体，输出，
于是得判断框中的条件为：，
所以判断框中可以填：.
故选：D
4、B
【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解
【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以
故选：B
5、B
【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果
【详解】因为，
所以，即
所以，
由双曲线的定义，知，
设，则，易得，
如图，作，为垂足，

则，所以，即，即双曲线的离心率为.
故选：B
6、D
【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2.
【详解】先排3，4，5,,共有种排法，
然后在4个位置上选2个排列1,2，有种排法，
则1与2不能相邻的排法总数为种，
故选：D.
7、C
【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案
【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；
对于B：若，则或与相交，故B错误；
对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；
对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；
故选：C
8、D
【解析】根据给出的循环程序进行求解，直到满足，输出.
【详解】，，，，，，，，，，，，所以.
故选：D
9、D
【解析】要求函数图象的一个对称中心的坐标,关键是求函数时的的值;令,根据余弦函数图象性质可得,此时可求出,然后对进行取值,进而结合选项即可得到答案.
【详解】解:令,
则
解得,
即,
图象的对称中心为,
令,即可得到图象的一个对称中心为
故选:D
【点睛】本题考查三角函数的对称中心,正弦函数的对称中心为,余弦函数的对称中心为.
10、A
【解析】首先根据题意求出，然后设函数，利用以及的单调性，并结合对数运算即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，
不妨设，()，故，
从而，
易知在上单调递增，
故，即，
从而.
故选：A.
11、A
【解析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系
【详解】考查函数，则，在上单调递增，
，（3），即，
，
故选：
【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题
12、B
【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.
A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；
B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；
C：平面内不存在与a平行的直线，错误，
当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；
D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】由已知得，，然后计算的平均数和方差可得答案.
【详解】由已知得，，
所以，.
故答案为：2.
14、
【解析】画出示意图，根据图形分析可知点在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型可求出.
【详解】作出示意图

曲线是圆心为原点，半径为2的一个半圆.
圆心到直线距离，
而点到直线的距离为，
故若点到直线的距离不大于，
则点在阴影部分所对的劣弧上，
由几何概型的概率计算公式知，所求概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属于中档题.
15、6
【解析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.
【详解】由题意，，得.
故答案为：6.
16、
【解析】求出过切线的半径所在直线斜率，由垂直关系得切线斜率，然后得直线方程，现化为一般式
【详解】圆心为，，所以切线的斜率为，切线方程为，即
故答案为：
【点睛】本题考查求过圆上一点的圆的切线方程，利用切线性质求得斜率后易得直线方程

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的焦距为，点在C上，由求解；
（2）设，，，的斜率不存在时，则的方程为，与椭圆的方程联立求得M，N的坐标，由，，成等差数列求解；的斜率存在时，设的方程为，与椭圆的方程联立，然后由，，成等差数列，结合韦达定理求解；
【小问1详解】
解：由题意得，
解得，，
所以C的方程为.
【小问2详解】
设，，，
当的斜率不存在时，则的方程为，
将代入，得.
因为，，成等差数列，
所以，即，
显然当时，方程恒成立.
当的斜率存在时，设的方程为，
联立得，
则，.
，
.
因为，，成等差数列，
所以，
即恒成立.
则，
解得.
综上所述，的方程为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；
（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.
【小问1详解】
∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，
∴RQ是线段FP的垂直平分线,
∵, ∴是点Q到直线l的距离,
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,
则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，
即动点Q轨迹的方程为.
【小问2详解】
设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，则，
代入可得，即点M的坐标为，
同理设，，直线的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，
则，代入可得，即点的坐标为，
则直线MN的斜率为，
即方程为，整理得，
故直线MN恒过定点.
19、（1）
（2）18
【解析】（1）易得，，进而有，再结合已知即可求解；
（2）由（1）易得直线AP的方程为，，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，将代入椭圆方程，联立即可得与AP距离比较远的切线方程，从而即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，将代入椭圆方程，得，
又∵，∴，化简得，解得，
又，，所以，
∴，
∴椭圆的方程为；
【小问2详解】
解：由（1）知，直线AP的方程为，即，
设与直线AP平行的直线方程为，
由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，
将代入椭圆方程，化简可得，
由，即，解得，
所以与AP距离比较远的切线方程，
因为与之间的距离，又，
所以的面积的最大值为
20、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出线段中点，进而得到线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.则圆的方程可求
（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，由到此直线的距离为，解得，即可到切线所在直线的方程.
试题解析：（1）线段的中点为，∵，
∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，
∴.
∴圆的方程为.
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.
故满足条件的切线方程为或.
【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆的特性，利用点到直线的距离公式求解
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据圆心在过点，的线段的中垂线上，同时圆心圆心在直线上，可求出圆心的坐标，进而求得半径，最后求出其标准方程；
（2）选①利用用垂径定理可求得答案，选②根据圆上一点P到直线的最大距离为可求得答案，选③先利用向量的数量积可求得，解法就和选①时相同.
【小问1详解】
由题意可知，圆心在点的中垂线上，
该中垂线的方程为，于是，由，
解得圆心，圆C的半径
所以，圆C的方程为；
【小问2详解】
①，因为，，
所以圆心C到直线l的距离，则，解得，
②，圆上一点P到直线的最大距离为，可知圆心C到直线l的距离
则，解得，
③，因为，所以，
得，又，所以圆心C到直线l的距离，
则，解得
22、（1）；
（2）﹒
【解析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；
(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒
【小问1详解】
以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：

∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，
则MN垂直平分，∴，又∵，∴，
∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；
【小问2详解】
设，，则的周长为
当轴时，l的方程为，，，
当l与x轴不垂直时，设，
由得，
∵D＞0，∴，，

，
令，则，
，
∵，∴，∴.
综上可知，S的取值范围是