2026届湖北省鄂州市、黄冈市数学高一第一学期期末经典试题含解析.doc

2026届湖北省鄂州市、黄冈市数学高一第一学期期末经典试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　）
A B.
C. D.
2． “”是“”的（）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知集合,则=
A. B.
C. D.
4．若是三角形的一个内角，且，则的值是（ ）
A. B.
C.或 D.不存在
5．若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是
A.1 B.2
C.3 D.4
6．下列说法正确的有（）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7． “”是“幂函数为偶函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
9．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）
A.R B.
C. D.
10．函数的零点一定位于下列哪个区间（）.
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若是上的单调递增函数，则的取值范围是__________
12．函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______
13．命题“”的否定是________________.
14．在中，三个内角所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为__________
15．若不等式的解集为，则______，______
16．某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h），将数据按照，，，，，，分成6组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.

由图中数据可知___________；估计全校高中学生中完成作业时间不少于的人数为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离

18．已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求的值域；
（2）解不等式：
19．（1）已知，且，求的值
（2）已知，是关于x的方程的两个实根，且，求的值
20．（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②
21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该简车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间

（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；
（2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题
2、B
【解析】利用充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】由可推出，由，即或，推不出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
3、B
【解析】分析：化简集合，根据补集的定义可得结果.
详解：由已知，
，故选B.
点睛：本题主要一元二次不等式的解法以及集合的补集运算，意在考查运算求解能力.
4、B
【解析】
由诱导公式化为 ， 平方求出，结合已知进一步判断角范围，判断符号，求出 ，然后开方，进而求出的值，与联立，求出，即可求解.
【详解】，
平方得，，
是三角形的一个内角，，
，
，
.
故选:B
【点睛】本题考查诱导公式化简，考查同角间的三角函数关系求值，要注意，
三者关系，知一求三，属于中档题.
5、D
【解析】∵点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（﹣3，3），
由中点坐标公式得AB的中点坐标为，
代入y=kx+b得 ①
直线AB得斜率为，则k=2.
代入①得， ．
∴直线y=kx+b为 ，解得：y=4．
∴直线y=kx+b在y轴上的截距是4．
故选D．
6、A
【解析】对于①：利用棱台的定义进行判断；
对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可判断；
对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体.即可判断；
对于④：利用圆锥的性质直接判断.
【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；
对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；
对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；
对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.
故选：A
7、C
【解析】根据函数的奇偶性的定义和幂函数的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
详解】由，即，解得或，
当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数；
当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，
所以充分性成立；
反之：幂函数，则满足，
解得或或，
当时，，此时函数为偶函数；
当时，，此时函数为偶函数，
当时，，此时函数为奇函数函数，
综上可得，实数或，即必要性成立，
所以“”是“幂函数为偶函数”的充要条件.
故选：C.
8、D
【解析】
，选D.
9、C
【解析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设，因为的图象过点，
所以，解得，则，
故的定义域为
故选：C
10、C
【解析】根据零点存在性定理可得结果.
【详解】因为函数的图象连续不断，且，
，，
，
根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握零点存在性定理是解题关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用函数的单调性求出a的取值范围，再求出的表达式并其范围作答.
【详解】因函数是上的单调递增函数，因此有，解得，
所以.
故答案为：
12、-1
【解析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可
【详解】解：∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；
当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；
综上，m=﹣1，
故答案为﹣1
【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值
13、.
【解析】根据含有一个量词的命题的否定可得结果
【详解】由含有一个量词的命题的否定可得，命题“”的否定为“”
故答案为
【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，把特称（全称）量词改为全称（特称）量词；二是把命题进行否定．本题考查特称命题的否定，属于简单题
14、
【解析】∵，，且，
∴，
∴,
∴
在中，由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴的取值范围为
答案：
15、 ①. ②.
【解析】由题设知：是的根，应用根与系数关系即可求参数值.
【详解】由题设，是的根，
∴，即，.
故答案为：，.
16、 ①.0.1 ②.50
【解析】利用频率之和为1可求，由图求出完成作业时间不少于的频率，由频数=总数频率可求.
【详解】由可求；由图可知，全校高中学生中完成作业时间不少于的频率为，则对应频数为.
故答案为：；50

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）设AC和BD交于点O，MO为三角形PAC的中位线可得MO∥PA，再利用直线和平面平行的判定定理，证得结论
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD，证得 AD⊥BD，可证AD⊥平面PBD，从而证得结论
（3）点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离h，求出MN、MO的值，利用等体积法求得点C到平面MBD的距离h
【详解】（1）证明：设AC和BD交于点O，则由底面ABCD是平行四边形可得O为AC的中点
由于点M为PC的中点，故MO为三角形PAC的中位线，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD内，而MO在平面BMD内，
故有PA∥平面BMD
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四边形ABCD中，∵∠BCD＝60°，AB＝2AD，
∴cos∠BADcos60°，∴AD⊥BD
这样，AD垂直于平面PBD内的两条相交直线，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB
（3）若AB＝PD＝2，则AD＝1，BD＝AB•sin∠BAD＝2，
由于平面BMD经过AC的中点，故点A到平面BMD的距离等于点C到平面BMD的距离
取CD得中点N，则MN⊥平面ABCD，且MNPD＝1
设点C到平面MBD的距离为h，则h为所求
由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形
由于点M为PC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得MD＝MB，故三角形MBD为等腰三角形，
故MO⊥BD
由于PA，∴MO
由VM﹣BCD＝VC﹣MBD 可得，•（）•MN•（BD×MO ）×h，
故有 （）×1•（）•h，
解得h

【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的性质，用等体积法求点到平面的距离，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据函数的奇偶性可得，进而可得函数的单调性及值域；
（2）由（1）可得该不等式为，根据函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知，，解得，则，
经检验，恒成立，
令，则，
函数在单调递增，
函数的值域为
【小问2详解】
由（1）得，则
，
，
，
不等式的解集为.
19、（1）；（2）
【解析】（1）先求出角，利用诱导公式即可求出；
（2）利用根与系数关系求出，得到，利用切化弦和二倍角公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以
由，得，即
所以
（2）由题意得
因为且，
所以解得，所以
则，即
20、（1）；；；（2）①；②
【解析】（1）利用三角函数的定义即可求解.
（2）求出，再利用齐次式即可求解.
【详解】（1）是角终边上一点，
则，
，
.
（2）由，则，
①.
②

21、（1），m
（2）4s
【解析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h关于时间t的函数，和时的函数值；（2）先确定定义域，再求解不等式，得到，从而求出答案.
【小问1详解】
筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为，故，当时，，故点P到水面的距离为m
【小问2详解】
点P从开始转动的一圈，所用时间，令，其中，解得：，则，故点P到水面的距离不低于的时间为4s.