安徽省阜阳市太和第一中学2025-2026学年高一上数学期末达标检测试题含解析.doc

安徽省阜阳市太和第一中学2025-2026学年高一上数学期末达标检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，是顶角为的等腰三角形，且，则

A. B.
C. D.
2．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是
A. B.
C. D.
4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
5．三条直线，，相交于一点，则的值是
A.－2 B.－1
C.0 D.1
6．已知函数，，则的零点所在的区间是
A. B.
C. D.
7．已知直线：与直线：，则（）
A.，平行 B.，垂直
C.，关于轴对称 D.，关于轴对称
8．已知函数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知向量，且，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数在上为减函数，则实数_______
12．已知向量，，若，，，则的值为__________
13．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________.

14．函数是奇函数，则实数__________.
15．已知函数，：①函数的图象关于点对称；②函数的最小正周期是；③把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同；④函数在R上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________
16．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为 __________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数在一个周期内的图象如图所示

（1）求的解析式；
（2）直接写出在区间上的单调区间；
（3）已知，都成立，直接写出一个满足题意的值
18．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若实数满足，求的值.
19．已知函数，.
（1）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；
（2）若对任意的、，不等式恒成立，求实数的取值范围
20．已知函数的图象在直线的下方且无限接近直线.
（1）判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并用定义证明；
（3）求函数的值域.
21．已知与都是锐角，且，
（1）求的值；
（2）求证：
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
【详解】∵是顶角为的等腰三角形，且
∴
∴
故选C
2、A
【解析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.
【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，

由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，
所以
故选：A
3、A
【解析】由函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍得到，向右平移个单位得到，将代入得，所以函数的一个对称中心是，故选A
4、C
【解析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
5、B
【解析】联立两条已知直线求得交点坐标，待定系数即可求得参数值.
【详解】联立与可得交点坐标为，
又其满足直线，故可得，解得.
故选：.
6、C
【解析】由题意结合零点存在定理确定的零点所在的区间即可.
【详解】由题意可知函数在上单调递减，且函数为连续函数，
注意到，，，，
结合函数零点存在定理可得的零点所在的区间是.
本题选择C选项.
【点睛】应用函数零点存在定理需要注意：
一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上只有一个零点.
7、D
【解析】根据题意,可知两条直线都经过轴上的同一点,且两条直线的斜率互为相反数,即可得两条直线的对称关系.
【详解】因为,都经过轴上的点,且斜率互为相反数,
所以,关于轴对称.
故选:D
【点睛】本题考查了两条直线的位置关系,关于轴对称的直线方程特征,属于基础题.
8、B
【解析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即得.
【详解】∵函数，
令，则，
∴的定义域为，，
所以函数为奇函数，
又，
当增大时，增大，即在上递增，
由，可得，即，
∴，
∴，即.
故选：B.
9、D
【解析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.
【详解】作函数和的图象，如图所示：

当时，，即，解得，此时，故A错误；
结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；
当时，，即，
故，即，所以，
故，即，所以，故D正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.
10、B
【解析】由已知得，
因为，
所以，即，
解得.选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-1
【解析】利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的单调性
【详解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数
∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1
当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数
当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数
故答案为m=﹣1
【点睛】本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关
12、C
【解析】分析：由，，，可得向量与平行，且，从而可得结果.
详解： ∵，，，
∴向量与平行，
且，
∴．故答案为.
点睛：本题主要考查共线向量的坐标运算，平面向量的数量积公式，意在考查对基本概念的理解与应用，属于中档题
13、30°
【解析】∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).
∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，
∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，
∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角度数为30°.
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
14、
【解析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.
【详解】因函数是奇函数，其定义域为R，
则对，，即，整理得：，
而不恒为0，于得，
所以实数.
故答案为：
15、②③④
【解析】利用辅助角公式、二倍角公式化简函数、，再逐一分析各个命题，计算判断作答.
【详解】依题意，函数，因，函数的图象关于点不对称，①不正确；
，于是得的最小正周期是，②正确；
，则把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数，
函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同，③正确；
令，则，
，
当时，，所以函数在R上的最大值为2，④正确，
所以结论正确的序号为②③④.
故答案为：②③④
【点睛】思路点睛：涉及求含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为二次函数在闭区间上的值域或最值问题解答.
16、 ①. ②.5
【解析】（1）当时，，
∴，
又函数是奇函数，
∴
故当时，
（2）当时，令，得，即，
解得，即，
又函数为奇函数，故可得，且
∵函数是以3为周期的函数，
∴，，
又，
∴
综上可得函数在区间上的零点为，共5个
答案：，5

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）增区间为，减区间为
（3）
【解析】（1）根据图象确定周期可得出，再由图象过点求出即可得出解析式；
（2）根据图象观察直接写出即可；
（3）由知函数图象关于对称，由图象直接写即可.
【小问1详解】
由图可知，
所以
因，且，
所以
因为图象过点，
所以
所以
所以
所以
因为，
所以
所以
【小问2详解】
在区间上，函数的增区间为，减区间为，
【小问3详解】
因为恒成立，
所以函数图象关于对称，
由图可知适合题意，（答案不唯一）
18、（1）偶函数，理由见详解；
（2）或.
【解析】（1）根据函数定义域，以及的关系，即可判断函数奇偶性；
（2）根据的单调性以及对数运算，即可求得参数的值.
【小问1详解】
偶函数，理由如下：
因为，其定义域为，关于原点对称；
又，故是偶函数.
【小问2详解】
在单调递增，在单调递减，证明如下：
设，故
，
因为，故，则，
又，故，则，
故，则
故在单调递增，又为偶函数，故在单调递减；
因为，
又在单调递增，在单调递减，
故或.
19、（1）（2）
【解析】（1）根据二次不等式的解集得，再根据基本不等式求解即可；
（2）根据题意将问题转化为在恒成立，再令，（），分类讨论即可求解.
【详解】（1）由关于的不等式的解集为，所以知
∴
又∵，∴，取“”时
∴
即的最小值为，取“”时
（2）∵时，，
∴根据题意得：在恒成立
记，（）
①当时，
由，∴
②当时，
由，∴
③当时，
由，
综上所述，的取值范围是
【点睛】本题的第二问中关键是采用动轴定区间的方法进行求解，即讨论对称轴在定区间的左右两侧以及对称轴在定区间上的变化情况，从而确定该函数的最值.
20、（1）函数在上单调递增，
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据函数的单调性情况直接判断；
（2）根据奇偶性的定义直接判断；
（3）由奇偶性直接判断值域.
【小问1详解】
因为随着增大，减小，即增大，故随增大而增大，所以函数在上单调递增.
由的图象在直线下方，且无限接近直线，得，
所以函数的解析式.
【小问2详解】
由（1）得，整理得，
函数定义域关于原点对称，，
所以函数是奇函数.
小问3详解】
方法一：由（1）知，
由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故，
所以函数的值域为.
方法二：由，得，得，得，得，得，所以函数的值域为.
21、（1）
（2）见解析
【解析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的正弦公式，得解；
（2）由，，结合两角和差的正弦公式，分别求出和的值，即可得证
【小问1详解】
解：因为与都是锐角，
所以，，
又，，
所以，，
所以，，
所以；
【小问2详解】
证明：因为，所以①，
因为，所以②，
①②得，，
①②得，，
故