2026届陕西省韩城市象山中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届陕西省韩城市象山中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列集合与集合相等的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数，现有下列四个结论：
①对于任意实数a，的图象为轴对称图形；
②对于任意实数a，在上单调递增；
③当时，恒成立；
④存在实数a，使得关于x的不等式的解集为
其中所有正确结论的序号是（）
A.①② B.③④
C.②③④ D.①②④
3．若，，，则有
A. B.
C. D.
4．函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
5．已知，则（　　）
A. B.
C. D.
6．若，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数的零点，（），则（）
A. B.
C. D.
8．已知直线经过点，倾斜角的正弦值为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．若，则是（ ）
A.第一象限或第三象限角 B.第二象限或第四象限角
C.第三象限或第四象限角 D.第二象限或第三象限角
10．若函数的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在棱长为2的正方体ABCD－中，E，F，G，H分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个大小完全相同的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，现有下列四个结论：

①CG//平面ADE；②该几何体的上底面的周长为；
③该几何体的的体积为；④三棱锥F－ABC的外接球的表面积为
其中所有正确结论的序号是____________
12．已知集合，.若，则___________.
13．已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________
14．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3:2，则全校抽取学生数为________

15．已知函数，则___________.
16．在中，，，则面积的最大值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x= 4−.已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
18．已知向量m＝(cos，sin )，n＝(2＋sinx，2－cos)，函数＝m·n，x∈R.
(1) 求函数的最大值；
(2) 若且 ＝1，求值.
19．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（2）求二面角P－BC－A的平面角的大小.
20．已知函数，.
（1）用函数单调性的定义证明：是增函数；
（2）若，则当为何值时，取得最小值？并求出其最小值.
21．已知，，
（1）值；
（2）的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可；
【详解】解：集合，表示含有两个元素、的集合，
对于A：，表示含有一个点的集合，故不相等；
对于B：，表示的是点集，故不相等；
对于C：，表示方程的解集，因为的解为，或，所以
对于D：，故不相等
故选：C
2、D
【解析】根据函数的解析式，可知其关于直线，可判断①正确；是由与相加而成，故该函数为单调函数，由此可判断②;根据的函数值情况可判断③;看时情况，结合函数的单调性，可判断④的正误.
【详解】对①，因为函数与|的图象都关于直线对称，所以的图象关于直线对称，①正确
对②，当时，函数与都单调递增，所以也单调递增，②正确
对③，当时，，③错误
对④，因为图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，且，所以存在，使得的解集为，④正确
故选：D
3、C
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性分别将与作比较，从而得到结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的大小关系得到所求的大小关系.
4、D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复
5、D
【解析】先求出，再分子分母同除以余弦的平方，得到关于正切的关系式，代入求值.
【详解】由得，，所以
故选：D
6、C
【解析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则
故选：C
【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
7、D
【解析】将函数化为，根据二次函数的性质函数的单调性，利用零点的存在性定理求出两个零点的分布，进而得出零点的取值范围，依次判断选项即可.
【详解】由题意知，
，
则函数图象的对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，
，，
所以，
因为，，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D
8、D
【解析】由题可知，则
∵直线经过点
∴直线的方程为，即
故选D
9、D
【解析】由已知可得即可判断.
【详解】，即，则且，
是第二象限或第三象限角.
故选：D.
10、A
【解析】因为函数g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且，，设函数的g(x)＝4x＋2x－2的零点为，根据零点存在性定理，有，则，所以，又因为f (x)＝4x－1的零点为，函数f (x)＝(x－1)2的零点为x=1，f (x)＝ex－1的零点为，f (x)＝ln(x－0．5)的零点为，符合为，所以选A
考点： 零点的概念，零点存在性定理

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①③④
【解析】由面面平行的性质判断①；由题设知两段圆弧的长度之和为，即可得上底周长判断②；利用正方体体积及圆锥体积的求法求几何体体积判断③；首先确定外接球球心位置，进而求出球体的半径，即可得F－ABC的外接球的表面积判断④.
【详解】因为面面，面，
所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正确；
依题意知，弧EF与弧HG均为圆弧，且这两段圆弧的长度之和为，
所以该几何体的上底面的周长为，该几何体的体积为8－，②错误，③正确；
设M，N分别为下底面、上底面的中心，则三棱锥F－ABC的外接球的球心O在MN上
设OM＝h，则，解得，
从而球O的表面积为，④正确.
故答案为：①③④

12、
【解析】根据给定条件可得，由此列式计算作答.
【详解】因集合，，且，于是得，即，解得，
所以.
故答案为：
13、，
【解析】作出当，时，的图象，将其图象分别向左、向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的或2倍），得到函数的图象，令，求得的最大值，可得所求范围
【详解】解：因为满足，即；
又由，可得，
画出当，时，的图象，
将在，的图象向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），
再向左平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的倍），
由此得到函数的图象如图：
当，时，，，，
又，所以，
令，由图像可得，则，解得，
所以当时，满足对任意的，，都有，
故的范围为，
故答案为：，

14、80
【解析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可
【详解】根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0125+0.0375）×5=0.25
∵从左到右前三个小组频率之比1：2：3，第二小组频数为12
∴前三个小组的频数为36，从而男生有人
∵全校男、女生比例为3：2，
∴全校抽取学生数为48× =80
故答案为80
【点睛】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识
15、
【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故答案为：.
16、
【解析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得，得均为锐角，设边上的高为，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面积最大值
【详解】中，，
所以，整理得，
即，所以均为锐角，
作于，如图，记，则，，
所以，，当且仅当即时等号成立．所以，
的最大值为
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）3万元
【解析】（1）依据题意列出该产品的利润y万元关于年促销费用m万元的解析式即可；
（2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
【小问1详解】
由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4−
则2022年的利润
【小问2详解】
∵当时，，
∴，（当且仅当时等号成立）
∴，当且仅当万元时，（万元）
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
18、 (1) f(x)的最大值是4 (2) －
【解析】（1）先由向量数量积坐标表示得到函数的三角函数解析式，再将其化简得到f（x）=4sin (x∈R)，最大值易得；
（2）若 且＝1，，解三角方程求出符合条件的x的三角函数值，再有余弦的和角公式求的值
【详解】(1)因为f(x)＝m·n＝cosx(2＋sinx)＋sinx·(2－cosx)
＝2 (sinx＋cosx)＝4sin (x∈R)，
所以f(x)的最大值是4.
(2)因为f(x)＝1，所以sin＝.
又因为x∈，即x＋∈.
所以cos＝－
cos＝cos.
＝coscos－sinsin
＝－×－×＝－.
【点睛】本题考查平面向量的综合题
19、（1）见解析（2）
【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，证明，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，则有，从而可得即为二面角P－BC－A的平面角，从而可得出答案.
【小问1详解】
证明：因为PA⊥AB，PA⊥AC，，
所以平面，
又因平面，所以，
因为D为线段AC的中点，，
所以，
又，所以平面PAC，
又因为平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC；
【小问2详解】
解：由（1）得平面，
又平面，所以，
因为AB⊥BC，，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角P－BC－A平面角，
中，，
所以，所以，
即二面角P－BC－A的平面角的大小为.
20、证明详见解析；（2）时，的最小值是.
【解析】（1）根据函数单调性定义法证明，定义域内任取，且，在作差，变形后判断符号，证明函数的单调性；（2）首先根据函数的定义域求的范围，再根据基本不等式求最小值.
【详解】（1）证明：在区间任取，设，

，
，，
，
即，
所以函数在是增函数；
（2），
的定义域是，
，
设，时，，
当时，，
当，即时，等号成立，
即时，函数取得最小值4.
【点睛】易错点睛：本题的易错点是第二问容易忽略函数的定义域，换元时，也要注意中间变量的取值范围.
21、（1）（2）
【解析】（1）根据二倍角公式，求出，即可求解；
（2）由两角和的正切公式，即可求出结论.
【详解】（1）.
=..
=
（2）=
===
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系以及恒等变换求值，应用平方关系要注意角的范围，属于基础题.