2025-2026学年河南省商丘市九校数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025-2026学年河南省商丘市九校数学高二上期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
2．设，，且，则等于（）
A. B.
C. D.
3．已知曲线与直线总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4．若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（ ）

A. B.
C D.
5．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知抛物线，则它的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
8．方程表示的图形是
A.两个半圆 B.两个圆
C.圆 D.半圆
9．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（）
A. B.
C. D.
10．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A.0.0689 B.0.049
C.0.0248 D.0.02
11．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为(　　)
A. B.
C. D.
12．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．由曲线围成的图形的面积为________
14．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.
15．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是__________

16．已知直线，，为抛物线上一点，则到这两条直线距离之和的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且

（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值
18．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）求在的最值.
19．（12分）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，A，C成等差数列.
（1）求A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
20．（12分）在正方体中，、、分别是、、的中点

（1）证明：平面平面；
（2）证明：
21．（12分）已知等比数列满足，
（1）求数列通项公式；
（2）记，求数列的前n项和
22．（10分）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上
（1）求椭圆C的方程；
（2）点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.
【详解】解：圆的圆心，，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相交，
故选：A.
2、A
【解析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：A.
3、D
【解析】对曲线化简可知曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线方程化简可得直线过定点，画出图形，由图可知，，然后求出直线的斜率即可
【详解】由，得，
因为，
所以曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，
由，得，
所以，得，
所以直线过定点，
如图所示设曲线与轴的两个交点分别为，
直线过定点，为曲线上一动点，
根据图可知，若曲线与直线总有公共点，则
，得，
设直线为，则
，解得，或，
所以，
所以，所以，
故选：D

4、C
【解析】由函数的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解.
【详解】由函数的图象可知，当时，从左向右函数先增后减，
故时，从左向右导函数先正后负，故排除AB；
当时，从左向右函数先减后增，
故时，从左向右导函数先负后正，故排除D.
故选：C.
5、B
【解析】首先求出两平行直线间的距离，即可求出圆的半径，设圆心坐标为，，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解；
【详解】解：因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；
故选：B
6、B
【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.
【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；
必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，
所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7、D
【解析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距，可得结果.
【详解】由得，所以，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.
8、D
【解析】其中，再两边同时平方，由此确定图形
【详解】根据题意，，再两边同时平方，
由此确定图形为半圆.
故选：D

【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围
9、A
【解析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解.
【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况，
即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，
因此恰有1次命中的概率为，
故选：A.
10、C
【解析】根据全概率公式即可求出
【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248
故选：C
11、A
【解析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.
【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.
故答案为A
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
12、C
【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.
【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，
所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，
所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.
当，时，曲线可化为：，
在第一象限为弓形，其面积为，
故.
故答案为：.

14、或10.
【解析】对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.
【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；
若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；
若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.
故答案为：或10.
15、
【解析】取的中点G，连接FG，BG，FB，由正方体的几何特征，易证平面AEC//平面BFG，再根据是侧面内一点（含边界），且平面，得到点P在线段BG上运动，然后在等腰中求解.
【详解】如图所示：

取的中点G，连接FG，BG，FB，
在正方体中，易得
又因为平面BFG，平面BFG，
所以平面BFG，同理证得平面BFG，
又因为，
所以平面AEC//平面BFG，
因为是侧面内一点（含边界），且平面，
所以点P线段BG上运动，
如图所示：

在等腰中，作，且，
所以，
设点F到线段BG的距离为d，
由等面积法得，
解得，
所以线段长度的取值范围是，
故答案为：
16、
【解析】过作，垂足分别为，由直线为抛物线的准线，转化，当三点共线时，取得最小值
【详解】过作，垂足分别为

抛物线的焦点为
直线为抛物线的准线
由抛物线的定义，
故，当三点共线时，取得最小值
故最小值为点到直线的距离：
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量、平面的法向量，由二面角的空间向量求法可得答案.
【小问1详解】
因为四边形是等腰梯形，，
所以，
所以，即
因为平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面
【小问2详解】
以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，
所以，，，
由（1）可知平面的一个法向量为
设平面的法向量为，因为，，所以得
令，则，，所以，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18、（1）（2），
【解析】（1）由与解方程组即可得解；
（2）求导后得到函数的单调区间与极值后，比较端点值即可得解.
【详解】（1）求导得，处有极值，即，
又 图象过点，代入可得.
.
（2）由（1）知，令得
又 ，.
列表如下：

0

2

3

0
+

4
↘
极小值
↗
1
在时，，.
【点睛】本题考查了导数的简单应用，属于基础题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由等差数列的性质结合内角和定理得出A的大小；
（2）先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.
【小问1详解】
因为B，A，C成等差数列，所以，所以.
【小问2详解】
因为，，由余弦定理可得：；
又的面积为，所以，所以，
所以,
所以周长为.
20、（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）连接，分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立.
【小问1详解】
证明：连接，

在正方体中，，，所以，四边形为平行四边形，
所以，
在中，、分别为、的中点，所以，，
所以，，
因为平面，平面，所以，平面
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，，
平面，平面，平面
又，所以，平面平面
【小问2详解】
证明：在正方体中，平面，平面，,
因为四边形为正方形，则，
因为，则平面
由知（1）平面平面，所以，平面，
平面，因此，
21、（1）
（2）
【解析】（1）通过基本量列方程组可得；
（2）由裂项相消法可解
【小问1详解】
由题意得
解得，所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）知，则
所以

22、（1）；
（2）直线的斜率为定值，且定值为.
【解析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程.
（2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值.
【小问1详解】
由题意，则，又，
所以椭圆C方程为，代入有，解得，
所以，故椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题设易知：，
法一：设直线为，
由，消去y，整理得，
因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，
故M为，用代替k，得N为，
所以，故直线的斜率为定值
法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，
由，消去y，整理得，
所以，而，
又，代入整理得，
所以，即，
若，则直线过点T，不合题意，
所以．即，故直线的斜率为定值.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于直线斜率的方M、N程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.