陕西省咸阳市武功县2026届高一数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

陕西省咸阳市武功县2026届高一数学第一学期期末检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．当时，的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
2．若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是（）
A.对任意，都有成立；
B.函数的图像关于原点成中心对称；
C.存在某个，使得；
D.对任意给定的，都有.
3．设集合，．若，则 (　 　)
A. B.
C. D.
4．下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（）
A. B.
C. D.
5．把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则（ ）
A. B.
C. D.
6．如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直

以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③ D.①②③
7．函数的定义域是（）
A.（-1，1） B.
C.（0，1） D.
8．已知直线：与直线：，则（）
A.，平行 B.，垂直
C.，关于轴对称 D.，关于轴对称
9．若都是锐角，且，，则
A. B.
C.或 D.或
10．已知函数，若，则的值为
A. B.
C.-1 D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若幂函数是偶函数，则___________.
12．如图，在长方体ABCD—中，AB＝3cm，AD＝2cm，，则三棱锥的体积___________.

13．函数f（x），若f（a）＝4，则a＝_____
14．设，，则______
15． (2016·桂林高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是________.

(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.
(3)CA′与平面A′BD所成的角为30°.
(4)四面体A′-BCD的体积为.
16．集合，用列举法可以表示为_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知是半径为圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记为.

（1）若的周长为，求的值；
（2）求的最大值，并求此时的值.
18．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求单调递减区间
19．已知圆经过，两点，且圆心在直线上
（）求圆的方程
（）过的直线与圆相交于，且，求直线的方程
20．要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人/天和30人/天，设在软土地带工作的人数x人，在软土、硬土地带筑路的时间分别记为，
（1）求，；
（2）求全队的筑路工期；
（3）如何安排两组人数，才能使全队筑路工期最短?
21．某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.

一等品
二等品
甲生产线
76
a
乙生产线
b
2
（1）写出a，b的值；
（2）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；
（3）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较和的大小.（只需写出结论）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用基本不等式直接求解.
【详解】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
2、D
【解析】利用偶函数的定义进行判断即可
【详解】对于A，对任意，都有成立，可得为偶函数且为奇函数，而当为偶函数时，不一定有对任意，，所以A错误，
对于B，当函数的图像关于原点成中心对称，可知，函数为奇函数，所以B错误，
对于CD，由偶函数的定义可知，对于任意，都有，即，所以当为偶函数时，任意，，反之，当任意，，则为偶函数，所以C错误，D正确，
故选：D
3、C
【解析】∵集合，，
∴是方程的解，即
∴
∴，故选C
4、C
【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；
是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，
故选：C.
5、C
【解析】根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可得解.
【详解】解：把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，
可得的函数图像，
再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，
所以.
故选：C.
6、C
【解析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案
【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确
对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确
对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确
故选：C
【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题
7、B
【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使有意义，则，所以函数的定义域是.
故选：B
8、D
【解析】根据题意,可知两条直线都经过轴上的同一点,且两条直线的斜率互为相反数,即可得两条直线的对称关系.
【详解】因为,都经过轴上的点,且斜率互为相反数,
所以,关于轴对称.
故选:D
【点睛】本题考查了两条直线的位置关系,关于轴对称的直线方程特征,属于基础题.
9、A
【解析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.
【详解】因为都是锐角，且，所以又
，所以，所以
，，故选A.
【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大
10、D
【解析】 ,选D
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不满足，舍；
当时，，为偶函数，满足条件.
所以.
故答案为：
12、1
【解析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.
【详解】根据题意可得，平面，
故可得，
又因为，
故可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.
13、1或8
【解析】当时，，当时，，分别计算出的值，然后在检验.
【详解】当时，,解得，满足条件.
当时，,解得，满足条件
所以或8.
故对答案为：1或8
【点睛】本题考查分段函数根据函数值求自变量，属于基础题.
14、
【解析】由，根据两角差的正切公式可解得
【详解】，故答案为
【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查
15、 (2)(4)
【解析】详解】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，
则BD⊥平面A′CD，则BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误.
因为BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，
所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确.
因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，
所以CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，
因为A′D=CD，
所以∠CA′D=，故(3)错误.
四面体A′-BCD的体积为V=S△BDA′·h=××1=，
因为AB=AD=1，DB=，
所以A′C⊥BD，综上(2)(4)成立.
点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.
16、##
【解析】根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），.
【解析】（1）根据周长即可求得，以及；将目标式进行转化即可求得；
（2）用表示出，将其转化为关于的三角函数，求该三角函数的最大值即可求得结果.
【详解】（1），，
则若的周长为，
则，
，
平方得，
即，
解得（舍）或.
则
.
（2）中，，
，
在中，
，
，
则

因为，
，
当，
即时，有最大值.
【点睛】本题考查已知正切值求齐次式的值，以及几何图形中构造三角函数，并求三角函数最值的问题，涉及倍角公式和辅助角公式的利用，属综合中档题.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用求出函数的最小正周；
（2）由求出x的范围，即得的单调递减区间.
【小问1详解】
∵函数，
∴，
故的最小正周期为.
【小问2详解】
由可得，
，
解之得，
所以f (x)的单调递减区间.
19、（1）（2）x＝2或15x﹣8y﹣30＝0
【解析】（1）由圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，可设圆C的圆心为（a，2a﹣2），半径为r，再由圆C过点A（1，4），B（3，6）两点，列关于a，r的方程组，求解可得a，r的值，则圆C的方程可求；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，求得M，N的坐标，可得|MN|＝2，满足题意；当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），则kx﹣y﹣2k＝0，由|MN|＝2，可得圆心到直线的距离为1，由点到直线的距离公式列式求得k值，则直线l的方程可求
【详解】解：（1）∵圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，
∴设圆C的圆心为（a，2a﹣2），半径为r，
又∵圆C过点A（1，4），B（3，6）两点，
∴，解得，
则圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，
联立，
解得M（2，4），N（2，4），
此时|MN|；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），则kx﹣y﹣2k＝0，
∵|MN|＝2，
∴圆心到直线的距离为d，解得k，
则直线l的方程为15x﹣8y﹣30＝0，
综上，直线l的方程为x＝2或15x﹣8y﹣30＝0

【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题
20、（1），，，
（2），且
（3）安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短
【解析】（1）由题意分别计算在软土、硬土地带筑路的时间即可；
（2）由得到零点，即可得到分段函数；
（3）利用函数的单调性即可得到结果.
【小问1详解】
在软土地带筑路时间为：，
在硬土地带筑路时间为，，
【小问2详解】
全队的筑路工期为
由于，即，得
从而，即，且.
【小问3详解】
函数区间上递减，在区间上递增，
所以是函数的最小值点
但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求
于是安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短
21、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值；
（2记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.
（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.
【小问1详解】
由题意，知，解得；
【小问2详解】
记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为.
从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：
，
，
记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是.
所以.
【小问3详解】
.