江西省赣州市厚德外国语学校2025-2026学年数学高一上期末检测试题含解析.doc

江西省赣州市厚德外国语学校2025-2026学年数学高一上期末检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则函数与函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
2．若，则下列不等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为
A. B.
C. D.
4．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知定义域为的奇函数满足，若方程有唯一的实数解，则（）
A.2 B.4
C.8 D.16
6．设，，，则下列大小关系表达正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知为平面，为直线，下列命题正确的是
A.，若，则
B.，则
C.，则
D.，则
8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，
其中恒成立的为（ ）

A.①③ B.③④
C.①④ D.②③
9．设集合，若，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，：①函数的图象关于点对称；②函数的最小正周期是；③把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同；④函数在R上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，__________
13．已知函数．若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________
14．在中，，则_____________
15．已知为三角形的边的中点，点满足，则实数的值为_______
16． =_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，其中，且.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域.
18．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若实数满足，求的值.
19．已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；
（2）设（k为常数）有两个零点，且，当时，求k的取值范围
20．已知函数，.

（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
21．已知命题，且，命题，且，
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
条件化为，然后由的图象 确定范围，再确定是否相符
【详解】，即.
∵函数为指数函数且的定义域为，函数为对数函数且的定义域为，A中，没有函数的定义域为，∴A错误；B中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递增，即，可能为1，∴B正确；C中，由图象知指数函数单调递减，即，单调递增，即，不可能为1，∴C错误；D中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递减，即，不可能为1，∴D错误
故选：B.
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，确定这两个的图象与性质是解题关键．
2、C
【解析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】由，得，即，故A错误；
则，则，即，故B错误；
则，，所以，故C正确；
则，所以，故D错误；
故选：C
3、D
【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.
考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.
4、C
【解析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.
【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，
因此，秒针的端点所走的路线长.
故选：C.
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题.
5、B
【解析】由条件可得，为周期函数，且一个周期为6，设，则得到偶函数，由有唯一的实数解，得有唯一的零点，则，从而得到答案.
【详解】由得，即，
从而，所以为周期函数，且一个周期为6，
所以.
设，将的图象向右平移1个单位长度，
可得到函数的图象，
且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，
从而偶函数有唯一的零点，且零点为，即，即，
解得，所以
故选：.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，解答本题的关键是由条件得到，得到为周期函数，设的图象，且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，从而偶函数有唯一的零点，且零点为，属于中档题.
6、D
【解析】利用中间量来比较三者的大小关系
【详解】由题.所以.
故选：D
7、D
【解析】选项直线有可能在平面内；选项需要直线在平面内才成立；选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理，故正确.
8、A
【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN

（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直
详解：
如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN
对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确
对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确
对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确
故选A
点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.
9、D
【解析】根据，由集合A，B有公共元素求解.
【详解】集合，
因为，
所以集合A，B有公共元素，
所以
故选：D
10、B
【解析】根据初相定义直接可得.
【详解】由初相定义可知，当时的相位称为初相，
所以，函数的初相为.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③④
【解析】利用辅助角公式、二倍角公式化简函数、，再逐一分析各个命题，计算判断作答.
【详解】依题意，函数，因，函数的图象关于点不对称，①不正确；
，于是得的最小正周期是，②正确；
，则把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数，
函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同，③正确；
令，则，
，
当时，，所以函数在R上的最大值为2，④正确，
所以结论正确的序号为②③④.
故答案为：②③④
【点睛】思路点睛：涉及求含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为二次函数在闭区间上的值域或最值问题解答.
12、
【解析】∵函数f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）∵当x＞0时，f（x）=log2x∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log2（-x）.
故答案为.
点睛：本题根据函数为奇函数可推断出f（-x）=-f（x）进而根据x＞0时函数的解析式即可求得x＜0时，函数的解析式
13、
【解析】作出函数的图象，如图所示，

当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，所以函数的图象与直线有两个交点时，有
14、
【解析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值
【详解】由，结合正弦定理可得，
故设，，()，由余弦定理可得，
故.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题
15、
【解析】根据向量减法的几何意义及向量的数乘便可由得出, 再由D为△ABC的边BC的中点及向量加法的平行四边形法则即可得出点D为AP的中点，从而便可得出，这样便可得出λ的值
【详解】=,所以，D为△ABC的边BC中点，∴∴如图，D为AP的中点；

∴,又，所以-2.故答案为-2.
【点睛】本题考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，及向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，属于中档题.
16、##
【解析】利用对数的运算法则进行求解.
【详解】
.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】(1)利用两角和正弦公式和辅助角公式化简，结合条件可求函数解析式，由周期公式求周期；(2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的值域.
【小问1详解】

因为，故，解得
因为，故.
则的最小正周期为.
【小问2详解】
因为，所以，
则，
所以，
故函数的值域为.
18、（1）偶函数，理由见详解；
（2）或.
【解析】（1）根据函数定义域，以及的关系，即可判断函数奇偶性；
（2）根据的单调性以及对数运算，即可求得参数的值.
【小问1详解】
偶函数，理由如下：
因为，其定义域为，关于原点对称；
又，故是偶函数.
【小问2详解】
在单调递增，在单调递减，证明如下：
设，故
，
因为，故，则，
又，故，则，
故，则
故在单调递增，又为偶函数，故在单调递减；
因为，
又在单调递增，在单调递减，
故或.
19、（1）在区间上的单调递减，证明详见解析；
（2）
【解析】（1）在区间上的单调递减，任取，且，再判断的符号即可；
（2）令，得到，根据，转化为有两个零点，且，求解.
【小问1详解】
解：在区间上的单调递减，
证明如下：任取，且，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
所以在区间上的单调递减；
【小问2详解】
令，则，
因为，所以，
则，即，
因为（k为常数）有两个零点，且，，
所以（k为常数）有两个零点，且，，
所以，
解得.
20、（1）
（2）
（3）图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1
【解析】（1）根据题意可得，平方即可求解.
(2)由题意比较与大小，从而可得出答案.
(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.
【小问1详解】
由，得且，解得，；
所以方程的解集为
【小问2详解】
由已知得.
【小问3详解】
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.

21、（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，解不等式求出a的取值范围即可；
（2）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用集合的知识列出不等式组求解a的范围即可.
【详解】（1），
，解之得：，故a的取值范围为；
（2）或，
p是q的充分条件，
，
或，解之得：或，
故实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查元素与集合间的关系，考查充分条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.