2025-2026学年宁夏回族自治区石嘴山市三中数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025-2026学年宁夏回族自治区石嘴山市三中数学高一上期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是　　

A.
B.
C.
D.
2．函数的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
3．已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知，则(　　)
A. B.1
C. D.2
5．下列函数中定义域为，且在上单调递增的是
A. B.
C. D.
6．已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，且，则 D.若，且，则
7．已知函数则（）
A.－ B.2
C.4 D.11
8．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为（式中的e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了，要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤的小时数为（）（参考数据：）
A.40 B.38
C.44 D.42
9．函数的图象如图所示，则（ ）

A. B.
C. D.
10．若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域是_____________
12．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为__________.
13．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
14．已知函数，则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号
①函数单调递增区间是；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；
④若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
15．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD中点，若，则______.

16．设函数即_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角A，B，C为三个内角，已知，.
（1）求的值；
（2）若，D为AB的中点，求CD的长及的面积.
18．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意
（1）求；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）
19．设是定义在上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当时，
（）求的解析式
（）若在上为增函数，求的取值范围
（）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
20．已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，设，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
21．已知函数,其中,且.
（1）若函数的图像过点,且函数只有一个零点,求函数的解析式;
（2）在（1）的条件下,若,函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果
【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，，
由线面垂直的判定定理得平面，所以,
所以异面直线与所成的角的大小是
故选C
本题主要考查了直线与平面垂直判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题
2、A
【解析】利用奇偶性定义可知为偶函数，排除；由排除，从而得到结果.
【详解】
为偶函数，图象关于轴对称，排除
又，排除
故选：
【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.
3、D
【解析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.
【详解】当角为第二象限角时，，
所以，
当角为第三象限角时，，
所以，
所以命题是命题的不充分条件.
当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.
所以命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选：D
4、D
【解析】根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：，，，
，

故选：D
5、D
【解析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.
【详解】因为的定义域为，的定义域为，所以排除选项B,C.
因为在是减函数，所以排除选项A，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.
6、A
【解析】根据不等式的性质判断
【详解】若，显然有，所以，A正确；
若，当时，，B错；
若，则，当时，，，C错；
若，且，也满足已知，此时，D错；
故选：A
7、C
【解析】根据分段函数的分段条件，先求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由题意，函数，可得，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，代入准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
8、A
【解析】由题意，可求解，解不等式即得解
【详解】根据题设，得，
∴，所以；
由，得，两边取10为底对数，并整理得
，∴，因此，至少还需过滤40小时
故选：A
9、C
【解析】根据正弦型函数图象与性质，即可求解.
【详解】由图可知：，所以，故，又，可求得，，由可得
故选：C.
10、C
【解析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可.
【详解】解：解不等式得，
因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】由题意，要使函数有意义，则，解得：且.即函数定义域为.
考点：函数的定义域.
12、
【解析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设弧长为，半径为，为圆心角，所以 ，
由扇形面积公式得.
故答案为：
13、 ①. ②.
【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
14、①③④
【解析】先利用辅助角公式化简，再根据函数，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可
【详解】①，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；
②因为，所以不是对称中心，故错误；
③的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，
所以时，，故正确；
④函数

，故错误；
⑤因为，作出在上的图象如图所示：
与有且仅有三个交点：

所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；
故选:①③⑤
15、
【解析】以，为基底，由平面向量基本定理，列方程求解，即可得出结果.
【详解】设，
则，
由于
可得，解得，所以
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查运算求解能力，属于中档题.
16、-1
【解析】结合函数的解析式求解函数值即可.
【详解】由题意可得：，
则.
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）.（2），的面积.
【解析】(1)由可求出,再利用展开即可得出答案;
(2)由正弦定理可得,解出,再结合(1)可得,则,从而求出,然后由余弦定理解出,故在中利用余弦定理可得,最后求出的面积即可.
【详解】(1),,
,
;
(2)由正弦定理可得,解得,
由(1)可得:,,
,,
,
又由余弦定理可得:,解得,
在中,,
,
的面积.
【点睛】本题考查了三角函数的和差公式以及正、余弦定理的应用,考查了同角三角函数基本关系式,需要学生具备一定的推理与计算能力,属于中档题.
18、（1）
（2）为偶函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）令，化简可求出，
（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，
（3）利用赋值求解即可
【小问1详解】
令，则，
，得或，
因对任意，所以
【小问2详解】
为偶函数
证明：令，则，
得，
所以为偶函数
【小问3详解】
令，则，
因为，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……，
所以
即当时，，
所以函数的零点为
19、（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】分析：（）当时，，；
当时，，从而可得结果；（）由题设知，对恒成立，即对恒成立，于是，，从而；（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，即可筛选出符合题意的正整数.
详解：（）当时，，
；
当时，，
∴，
（）由题设知，对恒成立，
即对恒成立，
于是，，
从而
（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值
令，
计算得出
（）若，即，
，
故此时不存在符合题意的
（）若，即，
则在上为增函数，
于是
令，故
综上，存在满足题设
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的应用及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义求解；
（2）由条件可知，再根据集合之间的关系建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由幂函数的定义得：，解得或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，上单调递增，符合题意；
综上可知：.
【小问2详解】
由（1）得：，
当时，，即.
当时，，即，
由是成立的必要条件，则，显然，则，即，
所以实数的取值范围为.
21、（1）或（2）
【解析】（1）因为,根据函数的图像过点,且函数只有一个零点,联立方程即可求得答案;
（2）因为,由（1）可知:,可得,根据函数在区间上单调递增,即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）
根据函数的图像过点,且函数只有一个零点
可得,整理可得,消去
得,
解得或
当时,,
当时,,
综上所述,函数的解析式为:或
（2） 当,由（1）可知:

要使函数在区间上单调递增
则须满足
解得,
实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.