福建省福州市福建师大附中2026届数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

福建省福州市福建师大附中2026届数学高一第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
2．米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）
A. B.
C. D.
3．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13

14
15
13
12
9
第3组的频数和频率分别是（）
A.和14 B.14和
C.和24 D.24和
4．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）

A. B.
C. D.
6．已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则　　
A. B.
C. D.
7．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（ ）
A.，0 B.4，
C.16，0 D.4，0
8．对于函数，下列说法正确的是
A.函数图象关于点对称
B.函数图象关于直线对称
C.将它的图象向左平移个单位，得到的图象
D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象
9．若，则角的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10．已知，那么下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若且，则取值范围是___________
12．函数中角的终边经过点，若时，的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
13．直线被圆截得弦长的最小值为______.
14．如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大小等于______

15．已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________.
16．给出下列四种说法：
（1）函数与函数的定义域相同；
（2）函数与的值域相同；
（3）若函数式定义在R上的偶函数且在为减函数对于锐角则；
（4）若函数且,则；
其中正确说法序号是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数
（1）当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
（2）某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
18．（1）计算：；
（2）化简：
19．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.

（1）求的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？
20．已知函数，
（1）若，解不等式；
（2）若函数恰有三个零点，，，求的取值范围
21．已知函数
（1）求函数的定义域及的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断在上的单调性，并给予证明
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得的值
【详解】角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点.
由三角函数的定义有：.
故选：A
2、C
【解析】根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.
【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
故选：C.
3、B
【解析】根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.
【详解】由题意可得：第3组频数为 ，
故第3组的频率为 ，
故选：B
4、A
【解析】由题意可得,，
，
，．故A正确
考点：三角函数单调性
5、C
【解析】利用弧长公式求解.
【详解】因为昆仑站距离地球南极点约，地球每自转，
所以由弧长公式得：，
故选：C
6、D
【解析】利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可
【详解】依题意，

，故选D
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
7、D
【解析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值
【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），
所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），
所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2的最大值，最小值分别是4，0；
故选：D
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性
8、B
【解析】，所以点不是对称中心，对称中心需要满足整体角等于,,A错．，所以直线是对称轴，对称轴需要满足整体角等于，，B对．将函数向左平移个单位，得到的图像，C错．将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像，D错，选B.
（1）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为
（2）三角函数图像平移：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象
路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象
9、C
【解析】直接由实数大小比较角的终边所在象限，，所以的终边在第三象限
考点：考查角的终边所在的象限
【易错点晴】本题考查角的终边所在的象限，不明确弧度制致误
10、B
【解析】根据不等式的性质可直接判断出结果.
【详解】，，知A错误，B正确；
当时，，C错误；当时，，D错误.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】分类讨论解对数不等式即可.
【详解】因为，所以，
当时，可得，
当时，可得.
所以或
故答案为：或
12、（1）
（2），
【解析】（1）根据角的终边经过点求，再由题意得周期求即可；
（2）根据正弦函数的单调性求单调区间即可.
【小问1详解】
因为角的终边经过点，
所以，
若时，的最小值为可知
，
∴
【小问2详解】
令，
解得
故单调递增区间为：，
13、
【解析】先求直线所过定点，根据几何关系求解
【详解】,
由解得所以直线过定点A(1,1)，圆心C（0，0），
由几何关系知当AC与直线垂直时弦长最小.
弦长最小值为.
故答案为：
14、
【解析】由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得 由 知就是异面直线与的夹角,且 所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°.
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
15、
【解析】解出三点坐标，即可求得三角形面积.
【详解】由题：，
，所以，，
所以，
.
故答案为：
16、（1）（3）
【解析】(1)根据定义域直接判断；(2)分别求出值域即可判断；(3)利用偶函数图形的对称性得出在上的单调性及锐角，可以判断；(4)通过对数性质及对数运算即可判断.
【详解】(1)函数与函数的定义域都为.所以(1)正确.
(2) 函数的值域为而的值域为，所以值域不同，故(2)错误.
(3) 函数在定义R上的偶函数且在为减函数,则函数在在为增函数，又为锐角，则，所以，故(3)正确.
(4) 函数且，则，即，
得，故(4)错误.
故答案为：(1)(3).
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数与幂函数的定义域与值域的求解，函数的奇偶性和单调性的判定，对数的运算，属于函数知识的综合应用，是中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）约为1.17m/s；（2）4.
【解析】（1）将代入函数解析式解得即可；
（2）根据现在和以前的游速之差为1列出等式，进而解得即可.
【小问1详解】
由题意，游速为.
【小问2详解】
设原来和现在耗氧量的单位数分别为，所以，所以耗氧量的单位数是原来的4倍.
18、（1）；（2）
【解析】（1）由题意利用对数的运算性质，计算求得结果
（2）由题意利用诱导公式，计算求得结果
【详解】解：（1）
（2）
19、（1）；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.
【解析】（1）先结合题设条件得到，，求得，再利用初始值计算初相即可；
（2）根据盛水筒达到最高点时，代入计算t值，再根据，得到最少时间即可；
（3）先计算时，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求，再由分钟后，进而计算d值并判断正负，即得结果.
【详解】解：（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，
当时，，代入得，，
因为，所以；
（2）由（1）知：，
盛水筒达到最高点时，，
当时，，所以，
所以，解得，
因为，所以，当时，，
所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；
（3）由题知：，即，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，
所以，
所以，
所以，再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒不在水中.
【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.
20、（1）
（2）
【解析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案；
（2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案.
【小问1详解】
解：当时，原不等式可化为…①
（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；
（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以
综上，原不等式的解集为
【小问2详解】
解：依题意，
因为，且二次函数开口向上，
所以当时，函数有且仅有一个零点
所以时，函数恰有两个零点
所以解得
不妨设，所以，是方程的两相异实根，
则，所以
因为是方程的根，且，
由求根公式得
因为函数在上单调递增，
所以，所以．所以．所以a的取值范围是
21、（1）(2)偶函数（3）在上是减函数,证明见解析.
【解析】(1)根据对数函数成立的条件即可求函数f (x）的定义域及的值；
(2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性;
( 3）利用函数单调性的定义进行判断和证明.
【详解】（1）因为，
所以，解得，
所以函数的定义域为.

（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称，
且，
所以函数是偶函数.
（3）在上是减函数.
设，且，
则，
因为，
所以，所以，
即，
所以在上是减函数.
【点睛】方法点睛：利用定义法证明函数的单调性，第一步设且，第二步做差，变形，判断差的符号，第三步根据差的符号作出结论.