2025年辽宁省沈阳市第一二〇中学数学高一第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年辽宁省沈阳市第一二〇中学数学高一第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知，则等于（）
A.1 B.2
C.3 D.6
3．若方程表示圆，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
4．已知点是角的终边上一点，则（）
A. B.
C. D.
5．定义域为R的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则=
A.0 B.
C. D.1
6．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（）
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
7．若动点．分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为（）
A. B.
C. D.
8．设集合，，，则（）
A. B.
C. D.
9．函数y=8x2-（m-1）x+m-7在区间（-∞，-]上单调递减，则m的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
10．圆关于直线对称的圆的方程为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为，则该正四棱锥的侧面积等于________cm2
12．函数的最小值是________.
13．设是以2为周期的奇函数，且，若，则的值等于___
14．已知函数的图象（且）恒过定点P，则点P的坐标是______，函数的单调递增区间是__________.
15．函数y＝cos2x－sin x的值域是__________________
16．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设为奇函数，为常数.
（1）求的值
（2）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）若，且，求函数的解析式；
（2）若函数在上是增函数，且，求实数的取值范围.
19．已知定义在上的函数是奇函数
（1）求实数，的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围
20．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量不超过40万部时，销售1万部手机的收入万元；当年销售量超过40万部时，销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润万元关于年销售量万部的函数解析式；
（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润.
21．用定义法证明函数在上单调递增
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】数形结合：根据所给函数作出其草图，借助图象即可求得答案
【详解】，
令，即，解得或，，
作出函数图象如下图所示：

因为函数在闭区间上有最大值5，最小值1，
所以由图象可知，
故选：D
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键
2、A
【解析】利用对数和指数互化，可得，，再利用即可求解.
【详解】由得：，，
所以，
故选：A
3、A
【解析】由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A
考点：圆的一般方程
4、A
【解析】利用三角函数的定义可求得结果.
【详解】由三角函数的定义可得.
故选：A.
5、C
【解析】本题考查学生的推理能力、数形结合思想、函数方程思想、分类讨论等知识

如图，由函数的图象可知，若关于的方程恰有5个不同的实数解，当时，方程只有一根为2；当时，方程有两不等实根（），从而方程，共有四个根，且这四个根关于直线对称分布，故其和为8.从而，，选C
【点评】本题需要学生具备扎实的基本功，难度较大
6、C
【解析】做差法比较与的大小即可得出结论.
【详解】设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（，）．因为，所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大，
故选：C
7、C
【解析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值.
【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.
故选：C
【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
8、D
【解析】根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：集合，，
，
则
故选：D
9、A
【解析】求出函数的对称轴，得到关于m的不等式，解出即可
【详解】函数的对称轴是,
若函数在区间上单调递减，
则，解得：m≥0，
故选A
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
10、A
【解析】由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为
考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、32
【解析】在正四棱锥的高和斜高所在的直角三角形中计算出斜高后，根据三角形的面积公式即可求出侧面积.
【详解】因为正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为，
所以斜高为 cm，所以该正四棱锥的侧面积等于 cm2
故答案为：32.
【点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，考查了求正四棱锥的侧面积，属于基础题.
12、2
【解析】直接利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值为2.
故答案为：2.
13、
【解析】先利用求得的值，再依据题给条件用来表示，即可求得的值
【详解】∵，∴，
又∵是以2为周期的奇函数，
∴
故答案为：
14、 ①. ②.
【解析】令，求得，即可得到函数的图象恒过定点；令，求得函数的定义域为，利用二次函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数（且），
令，即，可得，即函数的图象恒过定点，
令，即，解得，
即函数的定义域为，
又由函数的图象开口向下，对称轴的方程为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数的递增区间为.
故答案为：；.
15、
【解析】将原函数转换成同名三角函数即可.
【详解】，
，当时取最大值，
当时，取最小值；
故答案为： .
16、
【解析】　当时，有，此时，此时为减函数，
不合题意.若，则，故，检验知符合题意

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据函数为奇函数求参数值，注意验证是否符合题设.
（2）将问题转化为在上恒成立，根据解析式判断的区间单调性，即可求的范围.
小问1详解】
由题设，，
∴，
即，故，
当时，，不成立，舍去；
当时，，验证满足.
综上：.
【小问2详解】
由，即，
又为增函数，由（1）所得解析式知：上递增，
∴在单调递增-
故，故.
18、（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）利用可求得的值，利用，可求得的值.（2）利用奇函数的性质，将圆不等式转化为然后 利用函数的单调性列不等式来求解.
【试题解析】(Ⅰ) 是定义在上的奇函数
, 经检验成立

(Ⅱ) 是定义在上的奇函数且
即
函数在上是增函数
的取值范围是
19、（1），
（2）在上为减函数
（3）
【解析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数的奇偶性的定义，即可求解；
（2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解；
（3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，定义在上的函数是奇函数，
可得，解得，即，
又由，可得，解得，所以，
又由，所以，.
【小问2详解】
解：由，
设，则，
因为函数在上增函数且，
所以，即，
所以在上为减函数.
【小问3详解】
解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数，
因为，
即，
可得，
又由对任意的，不等式有解，
即在有解，
因为，则，所以，
所以，即实数的取值范围是.
20、（1）；（2）年销售量为45万部时，最大利润为7150万元.
【解析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；
（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.
【详解】解：（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），
故利润，而，
故，
整理得，；
（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；
时，，
其中，在上单调递减，在上单调递增，故 时，取得最小值，
故在 时，y取得最大值
而，
故年销售量为45万部时，利润最大，最大利润为7150万元.
【点睛】方法点睛：
分段函数求最值时，需要每一段均研究最值，再比较出最终的最值.
21、详见解析
【解析】根据题意，将函数的解析式变形有，设，由作差法分析可得结论
详解】证明：，
设，
则，
又由，
则，，，
则，
则函数上单调递增
【点睛】本题考查函数单调性的证明，注意定义法证明函数单调性的步骤，属于基础题．