2025年陕西省汉滨区恒口高级中学高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年陕西省汉滨区恒口高级中学高二数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（）

A.3 B.27
C.-9 D.9
2．设椭圆C：的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么的周长的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知命题：；：若，则，则下列判断正确的是（）
A.为真，为真，为假 B.为真，为假，为真
C.为假，为假，为假 D.为真，为假，为假
4．在等比数列中，若，则公比（）
A. B.
C.2 D.3
5．已知，是双曲线C：（，）的两个焦点，过点与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知抛物线C：的焦点为F，过点P（-1，0）且斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点，则（）
A. B.14
C. D.15
7．抛物线的焦点到直线的距离（ ）
A. B.
C.1 D.2
8．与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．下列说法正确的个数有（ ）个
①在中，若，则
②是，，成等比数列的充要条件
③直线是双曲线的一条渐近线
④函数的导函数是，若，则是函数的极值点
A.0 B.1
C.2 D.3
11．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A. B.0
C.6 D.8
12．在三棱锥中，，，，若，，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数单调增区间为______.
14．某市开展“爱我内蒙，爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______

15．已知等差数列满足，，，则公差______
16．机动车驾驶考试是为了获得机动车驾驶证的考试，采用全国统一的考试科目内容及合格标准，包括科目一理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试和科目四安全文明常识考试共四项考试，考生应依次参加四项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考．据公安部门通报，佛山市四项考试的合格率依次为，，，，且各项考试是否通过互不影响，则一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知命题p：方程 的曲线是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程无实根.若p或q为真，￢q为真，求实数m的取值范围.
18．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.

（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
20．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，为等边三角形，，，.

（1）证明：平面PAD；
（2）若M是BP的中点，求二面角的余弦值.
21．（12分）已知数列的前项和，且
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前项和为，若，对任意恒成立，求实数的取值范围
22．（10分）已知椭圆C：的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q（不与O重合），使得？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘值，并判断满足时输出的值
【详解】解：模拟执行程序框图，可得
，时，不满足条件，；
不满足条件，；
不满足条件，；
满足条件，退出循环，输出的值为27
故选：
2、A
【解析】根据椭圆的对称性 椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围.
【详解】的周长，
又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点，
所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为，则，
所以，
又因为三点不共线，
所以，
所以的周长的取值范围为，
故选：A.
3、D
【解析】先判断出命题，的真假，即可判断.
【详解】因为成立，所以命题为真，
由可得或，所以命题为假命题，
所以为真，为假，为假.
故选：D.
4、C
【解析】由题得，化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得.
故选：C
5、B
【解析】根据等腰直角三角形的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】由题意不妨设，，当时，由，
不妨设，因为是等腰直角三角形，所以有
，或舍去，
故选：B
6、C
【解析】设A、B两点的坐标分别为，，根据抛物线的定义求出，然后将直线的方程代入抛物线方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.
【详解】设A、B两点坐标分别为，，直线的方程为，抛物线的准线方程为：，由抛物线定义可知：.联立方程，消去y后整理为，可得，，
.
故选：C.
7、B
【解析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由抛物线可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得，
即抛物线的焦点到直线的距离为.
故选：B.
8、C
【解析】由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.
【详解】与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得
故选：C
9、D
【解析】由在上恒成立，再转化为求函数的取值范围可得
【详解】由已知，在上是增函数，则在上恒成立，
即，，当时，，
所以
故选：D
10、B
【解析】根据三角函数、等比数列、双曲线和导数知识逐项分析即可求解.
【详解】①在中，则有，因，所以，又余弦函数在上单调递减，所以，故①正确，
②当且时，此时，但是，，不成等比数列，故②错误，
③由双曲线可得双曲线的渐近线为，故③错误，
④“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故④错误.
故选：B.
11、C
【解析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数最大值.
【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.

故选：C
12、B
【解析】根据空间向量的基本定理及向量的运算法则计算即可得出结果.
【详解】连接,因为，所以，
因为，所以，
所以,
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用导数法求解.
【详解】因为函数，
所以，
当时，，
所以的单调增区间是，
故答案为：
14、1
【解析】由平均数列出方程，求出x的值.
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：1
15、2
【解析】根据等差数列性质求得，再根据题意列出相关的方程组，解得答案.
【详解】为等差数列，
故由可得：，
即，
故，故，
所以，解得，
故答案为：2
16、
【解析】至多需要补考一次，分5种情况分别计算后再求和即可.
【详解】不需要补考就通过的概率为；
仅补考科目一就通过的概率为；
仅补考科目二就通过的概率为；
仅补考科目三就通过的概率为；
仅补考科目三就通过的概率为，
一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、.
【解析】计算命题p：；命题；根据p或q为真，￢q为真得到真假，计算得到答案.
【详解】若方程的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则满足，即，即，即
若方程无实根，则判别式，
即，得，即，即
若为真，则为假，同时若或为真，则为真命题，
即，得，即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了命题的真假计算参数范围，根据条件判断出真假是解题的关键.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
【小问2详解】
过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
则，
所以
设
因为平面，所以
所以,
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，
所以，解得，
所以，，
设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为

19、（1）
（2）或
【解析】（1）根据焦距求出，利用面积最大值，得到求出，从而得到，求出椭圆方程；（2）分直线斜率存在和斜率不存在，结合题干条件得到，进而求出直线方程.
【小问1详解】
∵
∴，
又的面积最大值，则，所以，
从而，，故椭圆的方程为：；
【小问2详解】
①当直线的斜率存在时，设，
代入③整理得，
设、，则，
所以，
点到直线的距离
因为，即，
又由，得，所以，.
而，，即，
解得：，此时；
②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或.
【点睛】圆锥曲线中，有关向量的题目，要结合条件选择不同的方法，一般思路有转化为三角形面积，或者线段的比，或者由向量得到共线等.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据条件先证明，再根据线面平行的判定定理证明平面PAD；
（2）确定坐标原点，建立空间直角坐标系，从而求出相关的点的坐标，进而求得相关向量的坐标，再求相关平面的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.
【小问1详解】
证明：由已知为等边三角形，且，所以
又因为，,
在中，，
又，
所以在底面中，，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：取的中点，连接，则，由（1）知，所以，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，
所以，
由已知可知平面ABCD的一个法向量
设平面的一个法向量为，
由，即，得，
令，则，
所以，
由图形可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用可得答案；
（2）利用错位相减可得，转化为对任意，恒成立，求出的最大值可得答案
小问1详解】
当时，由，得或（舍去），
由，得，①
当时，，②
由①－②，得，
整理得，
因为，所以
所以是首项为1，公差为1的等差数列
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，③
，④
由③－④，得
，
即，
由得，所以，即，
该式对任意恒成立，因此，
所以的取值范围是
22、（1），；
（2）存在或，使得，理由见解析.
【解析】（1）根据离心率，及求出，，进而得到椭圆方程及用m，n表示点M的坐标；（2）假设存在，根据得到，表达出点坐标，得到，结合得到，从而求出答案.
【小问1详解】
由离心率可知：，又，，解得：，，故椭圆C：，直线PA为：，令得：，所以；
【小问2详解】
存在或，使得，理由如下：
假设，使得，则，其中，直线：，令得：，则，，解得：，其中，故，所以，所以或