浙江省杭州五校2025年数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

浙江省杭州五校2025年数学高二上期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量服从正态分布，，则（）
A. B.
C. D.
2．已知数列满足，若.则的值是（）
A. B.
C. D.
3．在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（）

A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
4．方程表示的曲线为（）
A.抛物线与一条直线 B.上半抛物线（除去顶点）与一条直线
C.抛物线与一条射线 D.上半抛物线（除去顶点）与一条射线
5．已知数列中，，()，则（）
A. B.
C. D.2
6．函数在上是单调递增函数，则的最大值等于（）
A.2 B.3
C.5 D.6
7．已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是
A. B.
C. D.
8．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）
A.7 B.23
C.5或25 D.7或23
9．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（）
A. B.
C. D.
10． “”是“直线和直线垂直”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
12．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为______.
14．已知函数定义域为，值域为，则______
15．若，且，则_____________
16．曲线在点处的切线方程为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前n项和为Sn，S9=81，，求：
（1）Sn；
（2）若S3、、Sk成等比数列，求k
18．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面.

（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求四棱锥的体积.
19．（12分）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
20．（12分）求证：
（1）是上的偶函数；
（2）是上的奇函数.
21．（12分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：

（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
22．（10分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一 200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距 20 分成 7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第 60 百分位数；
（3）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目， 求小明选中“技术”的概率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果
【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，
由于，所以，
所以，
则，
所以
故选：B.
【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
2、D
【解析】由，转化为，再由求解.
【详解】因为数列满足，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
故选：D
3、D
【解析】利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，平面，
若平面，因为，则平面平面，
事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；
对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，
平面，平面，则，
，，平面，
而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；
对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，则，
，，则平面，
若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，平面，
而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，
所以，平面平面，所以，，
但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；
对于D选项，因为四边形为菱形，则，
平面，平面，，
，平面，
因为平面，因此，平面平面平面，D对.
故选：D.

4、B
【解析】化简得出或，由此可得出方程表示的曲线.
【详解】由可得或，
所以，方程表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，
故选：B.
5、A
【解析】由已知条件求出，可得数是以3为周期的周期数列，从而可得，进而可求得答案
【详解】因为，()，
所以，
所以数列的周期为3，
，
故选：A
6、B
【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3
【详解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数
∴在[1，+∞）上恒成立
即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立，
∴a≤3，∴a的最大值是3
故选：B
7、B
【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.
【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，
直线与抛物不相切，可得命题是假命题，
当时，，
方程表示椭圆
命题是真命题，
则是真命题.
故选:B.
【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.
8、D
【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，
根据双曲线的定义知，，
而，所以或
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
9、C
【解析】根据导数的定义即可求解.
【详解】.
故选：C.
10、A
【解析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为“直线和直线垂直，
所以或.
当时，直线和直线垂直；
当直线和直线垂直时，不一定成立.
所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，
故选：A
11、B
【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出
【详解】如图所示：不妨设棱长为1，
，，
所以＝＝，
，，
即，故异面直线与所成角的余弦值为

故选：B
注意事项：1.将答案写在答题卡上 2.本卷共10小题，共80分.
12、A
【解析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.
【详解】因为离心率，所以，
所以，，则，
所以C的渐近线方程为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得到的值
【详解】一渐近线x＋ay＝0，被圆(x－2)2＋y2＝4所截弦长为2，
所以圆心到直线距为，即 ，a＝1.所以双曲线的实轴长为2.
故答案为：
14、3
【解析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解.
【详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得，
则，
由值域为可得，
所以，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.
15、
【解析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.
【详解】解：因为，所以，，，又，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
16、.
【解析】由求导公式求出导数，再把代入求出切线的斜率，代入点式方程化为一般式即可.
【详解】由题意得，
∴在点处的切线的斜率是，
则在点处的切线方程是，
即.
【点睛】本题考查导数的几何意义.注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，前者“某点”是切点，后者“某点”不一定是切点.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）Sn=n2
（2）11
【解析】(1)由等差数列前n项和公式与下标和性质先求，然后结合可解；
(2)由(1)中结论和已知列方程可解.
【小问1详解】
由，解得，
又∵，∴，，
∴
【小问2详解】
∵S3，S17–S16，Sk成等比数列，
∴S3Sk=( S17–S16)2=，即9k2=332，
解得：k=11
18、（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，证明，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）先证明平面面，过点作于点，即可证明面，在中，利用面积公式求出即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）线段上存在点使得平面，为的中点.
证明如下：如图取的中点，的中点，连接，，，

因为，分别为，的中点，
所以且
因为且，
所以， 且，
所以四边形为平行四边形，可得，
因为面，面，所以平面；
（2）过点作于点，
因为平面，面，所以平面面，
因为，面，平面面，
所以面，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以，即为四棱锥的高，
所以.
19、（1）(,).（2）
【解析】（1）根据条件列关于P点坐标得方程组，解得结果，（2）先根据点到直线距离公式结合条件解得点M坐标，再建立的函数解析式，最后根据二次函数性质求最小值.
【详解】解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)
设点P(,),则={+6,},={－4,},
由已知可得
则2+9－18=0,解得=或=－6.
由于>0,只能=,于是=.
∴点P的坐标是(,).
（2）直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离为,
则,
由于－6≤≤6, ∴当=时,取得最小值.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
20、（1）证明见详解
（2）证明见详解
【解析】利用函数奇偶性的定义证明即可
【小问1详解】
由题意函数定义域为
且
故是上的偶函数
【小问2详解】
由题意函数定义域为
且
故是上奇函数
21、（1）
（2）平均数为；中位数为.
【解析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.
（2）根据平均数和中位数的定义直接计算得到答案.
【小问1详解】
该居民收入在区间内的概率为：

【小问2详解】
居民月收入的平均数为：
.
第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，
设居民月收入的中位数为，则，解得.
22、（1）= 0.005
（2）232 （3）
【解析】（1）由频率和为1列方程求解即可，
（2）由于前3组的频率和小于0.6，前4组的频率和大于0.6，所以三科总分成绩的第 60 百分位数在第4组内，设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，从而可求得结果，
（3）利用列举法求解即可
【小问1详解】
由(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + 0.0075 + + 0.0025) × 20 = 1，
解得 = 0.005
【小问2详解】
因为(0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 = 0.45 < 0.6，(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125) × 20 = 0.7 > 0.6，
所以三科总分成绩的第 60 百分位数在[220，240)内，
设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，
解得 = 232，即第 60 百分位数为232
【小问3详解】
将物理、化学、生物、政治、技术 5 门学科分别记作 ．则

事件 A 表示小明选中“技术”，则 ，
所以 P(A)=