郑州第一中学2025-2026学年高一上数学期末教学质量检测试题含解析.doc

郑州第一中学2025-2026学年高一上数学期末教学质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.内切 D.相离
2．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（　　）
A.﹣3 B.﹣1
C.1 D.3
3．若，，，则
A B.
C. D.
4．下列函数中，与的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ）
A. B.
C. D.
5．对空间中两条不相交的直线和，必定存在平面，使得（）
A. B.
C. D.
6．已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为 （ ）
A. B.
C. D.
7．已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（）
A. B.
C. D.
9．圆：与圆：的位置关系是
A.相交 B.相离
C.外切 D.内切
10．已知，，，则a、b、c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.

12．函数（且）的图象必经过点___________.
13．__________
14．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.
15．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
16．用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为.
（1）求函数的解析式；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若总存在，使得不等式成立，求实数的最小值.
18．已知函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）若有最大值3，求实数的值.
19．已知函数（其中，）的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线是函数图象的一条对称轴.
（1）求的值；
（2）求的单调递减区间；
（3）若，求的值域.
20．（1）已知是奇函数，求的值；
（2）画出函数图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解.
21．设圆的圆心在轴上，并且过两点.
(1)求圆的方程；
(2)设直线与圆交于两点，那么以为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由对称求出，再由圆心距与半径关系得圆与圆的位置关系
【详解】，，半径为，
关于直线的对称点为，即，所以，圆半径为，
，又，
所以两圆相交
故选：B
2、B
【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B
3、B
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即可得结果.
【详解】根据指数函数的单调性可得，
根据对数函数的单调性可得
,
则，故选B.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
4、C
【解析】先求得函数的奇偶性和单调性，结合选项，利用函数的性质和单调性的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，
当时，可得，
结合指数函数的性质，可得函数为单调递增函数，
对于A中，函数为奇函数，不符合题意；
对于B中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，
且满足，所以函数为偶函数，
设，且时，
则
，
因为且，所以，
所以，即，
所以在为增函数，符合题意；
对于D中，函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.
故选：C.
5、C
【解析】讨论两种情况，利用排除法可得结果.
【详解】和是异面直线时，选项A、B不成立，排除A、B；
和平行时，选项D不成立，排除D,
故选C.
【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题.
6、D
【解析】由辅助角公式可得，由函数关于直线对称，可得，可取．从而可得，由此结合，可得一个最大值一个最小值，从而可得结果.
【详解】，
，
函数关于直线对称，
，
即，，故可取
故，，
即可得：
，
故可令，，
，，即，，其中，，
，
故选D
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
7、D
【解析】先求得全集U和，根据补集运算的概念，即可得答案.
【详解】由题意得全集，，
所以.
故选：D
8、D
【解析】根据基本初等函数的奇偶性及单调性逐一判断.
【详解】A.在其定义域上为奇函数；
B.，在区间上时，，其为单调递减函数；
C.在其定义域上为非奇非偶函数；
D.的定义域为，
在区间上时，，其为单调递增函数，
又，故在其定义域上为偶函数.
故选：D.
9、A
【解析】
求出两圆的圆心和半径,用圆心距与半径和、差作比较,得出结论.
【详解】圆的圆心为(1,0),半径为1,
圆的圆心为(0,2),半径为2,
故两圆圆心距为,两半径之和为3,两半径之差为1,
其中,故两圆相交,
故选:A.
【点睛】本题主要考查两圆的位置关系,需要学生熟悉两圆位置的五种情形及其判定方法,属于基础题.
10、A
【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的知识判断出a、b、c的范围即可.
【详解】因为，，
所以
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②④
【解析】图①中，直线，图②中面，图③中，图④中，面
【详解】解：根据题意，
在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；
图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；
在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；
图④中，、、共面，但面，与异面
所以图②④中与异面
故答案为：②④.
12、
【解析】令得，把代入函数的解析式得，即得解.
【详解】解：因为函数，其中，，
令得，把代入函数的解析式得，
所以函数 (且)的图像必经过点的坐标为.
故答案为：
13、2
【解析】

考点：对数与指数的运算性质
14、
【解析】
利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．
【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，
则扇形的面积，解得：，
此扇形所含的弧长.
故答案为：.
15、##0.15
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.
【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，
甲和丙被录取的概率为，
乙和丙被录取的概率为
则他们三人中恰有两人被录取的概率为，
故答案为：.
16、
【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可.
【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为,设圆锥的底面半径为,则,
故圆锥的高为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据相邻两个交点之间的距离为可求出，由图像上一个最高点为可求出，，从而得到函数的解析式；
（2）根据三角变换法则可得，再求出在上的最小值，利用对数函数的单调性即可求出实数的最小值
【详解】（1）∵，∴，解得.
又函数图象上一个最高点为，
∴，（），∴（），又，
∴，∴
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到；然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即，
∵，∴，，依题意知，，
∴，即实数的最小值为.
18、（1）递减区间为，递增区间； （2）.
【解析】（1）当时，设，根据指数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性，即可求解；
（2）由题意，函数，分，和三种情况讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，，
设，则函数开口向下，对称轴方程为，
所以函数在单调递增，在单调递减，
又由指数函数在上为单调递减函数，
根据复合函数的单调性，可得函数在单调递减，在单调递增，
即函数的递减区间为，递增区间.
（2）由题意，函数，
①当时，函数，根据复合函数的单调性，可得函数在上为单调递增函数，此时函数无最大值，不符合题意；
②当时，函数，根据复合函数单调性，可得函数在在单调递增，在单调递减，
当时，函数取得最大值，即，解得；
③当时，函数，根据复合函数的单调性，可得函数在在单调递减，在单调递增，此时函数无最大值，不符合题意.
综上可得，实数的值为.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
19、（1）2 （2）
（3）
【解析】小问1：先求解函数周期再求得参数的值；
小问2：根据对称轴求出的值，结合正弦函数单调减区间定义即可求解；
小问3：因为，所以，结合正弦函数的值域即可求出结果
【小问1详解】
因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，
所以函数的周期，所以
【小问2详解】
因为直线是函数图象的一条对称轴，
所以，.又，所以
所以函数的解析式是
令，
解得
所以函数的单调递减区间为
【小问3详解】
因为，所以.所以，即函数的值域为
20、（1）；（2）时，无解；时，有两个解；或时，有一个解.
【解析】（1）由奇函数的定义，，代入即可得出结果.
（2）画出函数图象，结合函数图象可得出结果.
【详解】（1）为奇函数，
，
所以
（2）

函数图象如图，可知时，无解；时，有两个解；或时，有一个解
【点睛】本题考查了奇函数的定义，考查了运算求解能力和画图能力，数形结合思想，属于基础题目.
21、 (1) (2) 或.
【解析】（1）圆的圆心在的垂直平分线上，又的中点为，，∴的中垂线为.∵圆的圆心在轴上，∴圆的圆心为，因此，圆的半径，（2）设M,N的中点为H，假如以为直径的圆能过原点，则.，设是直线与圆的交点，将代入圆的方程得：.∴.∴的中点为.代入即可求得，解得.再检验即可
试题解析：
(1)∵圆的圆心在的垂直平分线上，
又的中点为，，∴的中垂线为.
∵圆的圆心在轴上，∴圆的圆心为，
因此，圆的半径，
∴圆的方程为.
(2)设是直线与圆的交点，
将代入圆的方程得：.
∴.
∴的中点为.
假如以为直径的圆能过原点，则.
∵圆心到直线的距离为，
∴.
∴，解得.
经检验时，直线与圆均相交，
∴的方程为或.
点睛：直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系，务必牢记d与r的大小关系对应的位置关系结论的理解.