辽宁师大附中2025年高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析.doc

辽宁师大附中2025年高一上数学期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（）
A. B.1
C. D.2
2．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（）
A. B.
C. D.
3．在内，使成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
4．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（）
A.10 B.9
C.8 D.6
5．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

1
2
4
5
6

123136
15.552
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中，一定有零点的是（）
A.（1，2） B.（2，4）
C.（4，5） D.（5，6）
6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）
A.60 B.65
C.66 D.69
7．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
8．设，则“”是“”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知函数若，则实数的值是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
10．下列哪组中的两个函数是同一函数（）
A.与 B.与
C.与 D.与
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小值为______.
12．已知函数f(x)＝(a＞0，a≠1)是偶函数，则a＝ _________，则f(x)的最大值为________.
13．已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______
14．已知扇形周长为4，圆心角为，则扇形面积为__________.
15．已知向量，若，则实数的值为______
16．已知函数，则_________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数且图象经过点
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
18．设函数f(x)＝ (x>0)
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围
19．已知函数，其中m为实数
（1）求f（x）的定义域；
（2）当时，求f（x）的值域；
（3）求f（x）的最小值
20．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
21．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与各自的资金投入（单位：万元）满足，．设甲大棚的资金投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元）
（1）求的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入最大
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意，在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
2、B
【解析】根据终边关于y轴对称可得关系，再利用诱导公式，即可得答案；
【详解】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴，
∵，
∴
故选：B.
【点睛】本题考查角的概念和诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
3、C
【解析】
直接画出函数图像得到答案.
【详解】画出函数图像，如图所示：根据图像知.
故选：.

【点睛】本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.
4、A
【解析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论
【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)
在的图象.画出函数，的图象；
令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象
由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为.

故选：A
5、C
【解析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.
【详解】∵
∴ ，，，,
又函数的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点
故选：C.
6、B
【解析】由已知可得方程，解出即可
【详解】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得.
故选：B
7、C
【解析】由函数的部分图象得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.
【详解】由图象可得函数的最小正周期为，则.
又，则，
则，，则，，
，则，，则，
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
8、A
【解析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.
【详解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9、B
【解析】根据分段函数分段处理的原则，求出，
代入即可求解.
【详解】由题意可知，，，
又因为，所以，解得.
故选：B.
10、D
【解析】根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错；
B选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错；
C选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故C错；
D选项，与的定义域都为，且，对应关系一致，故D正确.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.
【详解】
所以令，则
因此当时，取最小值，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
12、 ①. ②.
【解析】根据偶函数f(－x)＝f(x)即可求a值；分离常数，根据单调性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.
【详解】是偶函数，
，
则，
则，
即，
则，则，
则，
当且仅当，即，则时取等号，
即的最大值为，
故答案为：，
13、
【解析】先求出时最大值为，再由是的最大值，解出t的范围.
【详解】当时，，由对勾函数的性质可得：在时取得最大值；
当时，，且是的最大值，
所以，解得：.
故答案为：
14、1
【解析】利用扇形的弧长公式求半径，再由扇形面积公式求其面积即可.
【详解】设扇形的半径为，则，可得，而扇形的弧长为，
所以扇形面积为.
故答案为：1.
15、；
【解析】由题意得
16、1
【解析】根据分段函数的定义即可求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
所以，
故答案为：1.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3（2）
【解析】（1）利用求得.
（2）结合指数函数的单调性求得实数的取值范围.
【小问1详解】
依题意且，

【小问2详解】
在R上是增函数
且

所求的取值范围是
18、 (1)见解析；（2）2；（3）见解析.
【解析】（1）将函数写成分段函数，先作出函，再将x轴下方部分翻折到轴上方即可得到函数图象；
（2）根据函数的图象，可知在上是减函数，而在上是增函数，利用b且，即可求得的值；
（3）构造函数，由函数的图象可得结论
【详解】(1)如图所示

(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数
由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且－1＝1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根.
【点睛】本题考查绝对值函数，考查数形结合的数学思想，考查学生的作图能力，正确作图是关键
19、（1）
（2）[2，2]
（3）当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为
【解析】（1）根据函数解析式列出相应的不等式组，即可求得函数定义域；
（2）令，采用两边平方的方法，即可求得答案；
（3）仿（2），令，可得，从而将
变为关于t的二次函数，然后根据在给定区间上的二次函数的最值问题求解方法，分类讨论求得答案.
【小问1详解】
由
解得
所以f（x）的定义域为
【小问2详解】
当时，
设，
则

当时，取得最大值8；
当或时，取得最小值4
所以的取值范围是[4，8]
所以f（x）的值城为[2，2]
【小问3详解】
设，
由（2）知，，且，
则
令，,
若，，此时的最小值为；
若，
当时，在[2，2上单调递增，
此时的最小值为；
当，即时，，
此时的最小值为；
当，即时，，
此时的最小值为
所以，当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为
20、（1）；（2）最大值为，最小值为..
【解析】（1）根据最小正周期的计算公式求解出的最小正周期；
（2）先求解出的取值范围，然后根据正弦函数的单调性求解出在区间上的最值.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
当时，，此时，
故在区间上的最大值为，最小值为.
21、（1）；（2）当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大.
【解析】（1）根据题意，可分别求得甲、乙两个大棚的资金投入值，代入解析式即可求得总收益.
（2）表示出总收益的表达式，并求得自变量取值范围，利用换元法转化为二次函数形式，即可确定最大值.
【详解】（1）当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚资金投入为150万元，
则由足，
可得总收益为万元；
（2）根据题意，可知总收益为

满足，解得，
令，
所以
，
因为，
所以当即时总收益最大，最大收益为万元，
所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大，最大收益为282万元.
【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，分段函数模型的应用，二次函数型求最值的应用，属于基础题.