新疆奎屯市农七师高级中学2025年高一数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

新疆奎屯市农七师高级中学2025年高一数学第一学期期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的单调递增区间为（）
A.（－∞，1） B.（2，+∞）
C.（－∞，） D.（，+∞）
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
3．函数单调递增区间为
A. B.
C D.
4．集合，，则P∩M等于
A. B.
C. D.
5．已知为等差数列，为的前项和，且，，则公差
A. B.
C. D.
6．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
7．设函数，且在上单调递增，则的大小关系为
A B.
C. D.不能确定
8．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（　　）
A. B.
C. D.
9．定义在上的偶函数在时为增函数，若实数满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
10．已知，且，则的最小值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________．（写出所有真命题的序号）
①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线
②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直
③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线
④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线
12．设函数是以4为周期的周期函数，且时，，则__________
13．幂函数的图象过点，则___________.
14．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.
15．已知与之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系，

则与的回归直线方程必过定点__________
16．已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知不等式的解集为或.
（1）求b和c的值；
（2）求不等式的解集.
18．揭阳市某体育用品商店购进一批羽毛球拍，每件进价为100元，售价为160元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元?
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?
19．已知定义域为的函数是奇函数
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅳ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.
20．已知函数
（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值
21．已知函数.
（1）求函数的周期和单调递减区间；
（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为为减函数,且定义域为.所以,即或
故求的单调递减区间即可.又对称轴为,在上单调递减.又,故的单调递增区间为.
故选：A
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间,需要注意对数函数的定义域,属于基础题型.
2、D
【解析】依次判断4个选项的单调性及奇偶性即可.
【详解】对于A，在区间上单调递增，错误；
对于B，，由得，单调递增，错误；
对于C，当时，没有意义，错误；
对于D，为偶函数，且在时，单调递减，正确.
故选：D.
3、A
【解析】，所以．故选A
4、C
【解析】先求出集合M和集合P，根据交集的定义，即得。
【详解】由题得，，则.
故选：C
【点睛】求两个集合的交集并不难，要注意集合P是整数集。
5、A
【解析】分析：先根据已知化简即得公差d.
详解：由题得4+4+d+4+2d=6,所以d=.故答案为A.
点睛：本题主要考查等差数列的前n项和和等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.
6、A
【解析】本道题目先理解的意义，实则为一个半圆，然后利用图像，绘制出该直线与该圆有交点的大致位置，计算出b的范围，即可.
【详解】
要使得这两条曲线有交点，则使得直线介于1与2之间，已知1与圆相切，2过点（1，0），则b分别为，故，故选A.
【点睛】本道题目考查了圆与直线的位置关系，做此类题可以结合图像，得出b的范围．
7、B
【解析】当时，，它在上单调递增，所以.又为偶函数，所以它在上单调递减，因，故，选B.
点睛：题设中的函数为偶函数，故根据其在上为增函数判断出，从而得到另一侧的单调性和，故可以判断出.
8、C
【解析】由条件两边平方可得，代入夹角公式即可得到结果.
【详解】由，可得：，
又是两个单位向量，
∴
∴
∴它们的夹角等于
故选C
【点睛】本题考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围
9、C
【解析】

因为定义在上的偶函数，所以
即
又在时为增函数，则，解得
故选
点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中与由对数式运算法则可知互为相反数，与偶函数的性质结合可将不等式化简，借助函数在上是增函数可确定在为减函数，利用偶函数的对称性可得到自变量的范围，从而求得关于的不等式，结合对数函数单调性可得到的取值范围
10、C
【解析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为且，所以，所以
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为
故选：C
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②④
【解析】①当时，在平面内存在与直线平行的直线．②若直线，则平面的交线必与直线垂直，而在平面内与平面的交线平行的直线有无数条，因此在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．③当直线为平面的交线时，在平面内一定存在与直线垂直的直线．④当直线为平面的交线，或与交线平行，或垂直于平面时，显然在平面内一定存在与直线垂直的直线．当直线为平面斜线时，过直线上一点作直线垂直平面，设直线在平面上射影为，则平面内作直线垂直于，则必有直线垂直于直线，因此在平面内，一定存在与直线垂直的直线
考点：直线与平面平行与垂直关系
12、##0.5
【解析】利用周期和分段函数的性质可得答案.
【详解】，
.
故答案为：.
13、
【解析】将点的坐标代入解析式可解得结果.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得.
故答案为：
14、或
【解析】根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，再结合直线方程求法，即可对本题求解
【详解】由题意，设直线在两坐标轴上的截距均为，
当时，设直线方程为：，
因为直线过点，所以，即，
所以直线方程为：,即： ，
当时，直线过点，且又过点，
所以直线的方程为，即：，
综上，直线的方程为：或.
故答案为：或
【点睛】本题考查直线方程的求解，考查能力辨析能力，应特别注意，截距相等，要分截距均为和均不为两种情况分别讨论.
15、
【解析】因为与的回归直线方程必过定点
则与的回归直线方程必过定点.
即答案为.
16、
【解析】先计算周期，则，函数，
又图象过点，则，
∴
由于，则.
考点：依据图象求函数的解析式；

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；；（2）
【解析】（1）利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出1，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出，的值
（2）将，的值代入不等式，将不等式因式分解，求出二次不等式的解集
【详解】解：（1）不等式的解集为或
，2是方程的两个根
由根与系数的关系得到：；；
（2）因为，所以
所以，所以
所以的解集为
18、（1）4800
（2）将售价定为150元，最大销售利润是5000元.
【解析】（1）由销售利润=单件利润×销售量，即可求商家降价前每星期的销售利润；
（2）由题意得销售利润，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.
【小问1详解】
由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；
【小问2详解】
设售价定为元，则销售利润.
当时，有最大值5000
∴应将售价定为150元，最大销售利润是5000元.
19、 (Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.
【解析】（1）根据奇函数性质得，解得值；（2）根据单调性定义，作差通分，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性（3）根据奇偶性以及单调性将不等式化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求实数的取值范围；（4）根据奇偶性以及单调性将方程转化为一元二次方程有解问题，根据二次函数图像与性质求值域，即得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题设，需，∴，∴，
经验证，为奇函数，∴.
（Ⅱ）减函数
证明：任取，，且，则，

∵
∴
∴，；
∴，即
∴该函数在定义域上减函数.
（Ⅲ）由得，
∵是奇函数，∴，
由（Ⅱ）知，是减函数
∴原问题转化为，即对任意恒成立，
∴，得即为所求.
（Ⅳ）原函数零点的问题等价于方程
由（Ⅱ）知，，即方程有解
∵，
∴当时函数存在零点.
点睛:利用函数性质解不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
20、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求得函数在上的单调递增区间，与取交集可得出结果；
（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用两角和的正弦公式可求得的值
详解】（Ⅰ）

令，，得，
令，得；令，得.
因此，函数在区间上的单调递增区间为，；
（Ⅱ）由，得
，，
又，，
因此，

【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
21、（1），
（2）
【解析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先根据三角函数的平移变换规则求出的解析式，根据，得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得；
【小问1详解】
解：∵

，
即，
所以函数的最小正周期，
令，解得.
故函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：由题意可得，
∵，∴，
∵，所以，则，
因此
.