广东省潮州市2025年数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

广东省潮州市2025年数学高一第一学期期末监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点所在的区间是（）
A.（-2，-1) B.(-1，0)
C.(0，1） D.（1，2）
2．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数是（　　）
A. B.
C. D.
3．，，且（3） (λ），则λ等于（　　）
A. B.－
C.± D.1
4．如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为（）

A.（） B.（）
C.（） D.（）
5．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
6．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．设，，，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．已知函数的定义域是，那么函数在区间上（）
A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值
C.既有最小值也有最大值 D.没有最小值也没有最大值
9．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A. B.±
C.0或1 D.
10．在三角形中，若点满足，则与的面积之比为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若点在函数的图象上，则的值为______.
12．写出一个同时具有下列三个性质函数：________.①；②在上单调递增；③.
13．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，O为线段中点，C为上异于O的一点，以为直径作半圆，过点C作的垂线，交半圆于D，连结，过点C作的垂线，垂足为E.设，则图中线段，线段，线段_______；由该图形可以得出的大小关系为___________.

14．设，向量，，若，则_______
15．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________
16．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______
答案】
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期及函数的对称轴方程；
（2）若，求函数的单调区间和值域.
18．已知函数，
（）求函数的单调区间；
（）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围
19．已知圆经过，两点，且圆心在直线上
（）求圆的方程
（）过的直线与圆相交于，且，求直线的方程
20．已知函数，
（1）若，求在区间上的最小值；
（2）若在区间上有最大值3，求实数的值.
21．如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.

（1）证明：平面.
（2）求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用零点存在性定理判断即可.
【详解】易知函数的图像连续
，，
由零点存在性定理，排除A；
又，，排除B；
，，结合零点存在性定理，C正确
故选：C.
【点睛】判断零点所在区间，只需利用零点存在性定理，求出区间端点的函数值，两者异号即可，注意要看定义域判断图像是否连续.
2、C
【解析】是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
是奇函数，在定义域内不单调；
y=－x 3是奇函数，又在定义域内为减函数；
非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
故选C
3、A
【解析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律展开并代值，即可求出λ
【详解】∵，∴=0，∵(3)⊥(λ)，∴（3）•（λ）=0，
即3λ2+（2λ﹣3）﹣22=0，∴12λ﹣18=0，解得λ=
故选A
4、B
【解析】根据给定信息，依次计算，再代入即可作答.
【详解】因函数最大值为110，最小值为10，因此有，解得，
而函数的周期为10，即，则，
又当时，，则，而，解得，
所以.
故选：B
5、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
6、C
【解析】根据已知条件逐个分析判断
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以集合A不是集合B的子集，所以B错误，
对于C，因为，，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：C
7、C
【解析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系.
【详解】，；
，，，即，又，.
故选：C.
8、A
【解析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值；
【详解】解：因为函数的定义域是，即不等式的解集为，所以且，即，所以，函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以，没有最大值；
故选：A
9、A
【解析】根据函数值为2，分类讨论即可.
【详解】若f(x)＝2，
①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).
综上，x＝.
故选：A.
10、B
【解析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P、Q两点所在位置，比较两个三角形的面积关系
【详解】因为，所以，即，得点P为线段BC上靠近C点的三等分点，又因为，所以，即，得点Q为线段BC上靠近B点的四等分点，所以，所以与的面积之比为，选择B
【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将点代入函数解析式可得的值，再求三角函数值即可.
【详解】因为点在函数的图象上，所以，解得，
所以，
故答案为：.
12、或其他
【解析】找出一个同时具有三个性质的函数即可.
【详解】例如，是单调递增函数，，满足三个条件.
故答案为：.（答案不唯一）
13、 ①. ②.
【解析】利用射影定理求得，结合图象判断出的大小关系.
【详解】在中，由射影定理得，即.
在中，由射影定理得，
即
根据图象可知，即.
故答案为：；
14、
【解析】根据向量共线的坐标表示，得到，再由二倍角的正弦公式化简整理，即可得出结果.
【详解】∵，向量，，
∴，∴，
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，涉及二倍角的正弦公式，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
15、
【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，当时，则，，故答案为.
16、
【解析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离
【详解】设该点的坐标是（x，y，z），
∵该点到三个坐标轴的距离都是1，
∴x2+y2＝1，
x2+z2＝1，
y2+z2＝1，
∴x2+y2+z2，
∴该点到原点的距离是
故答案为
【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最小正周期为，对称轴方程为
（2）函数在上单调递减，在上单调递增；值域为
【解析】（1）先通过降幂公式化简成，再按照周期和对称轴方程进行求解；
（2）求出整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.
【小问1详解】
；
函数的最小正周期为，
函数的对称轴方程为；
【小问2详解】
，
，
时，函数单调递减，即时，函数在上单调递减；
时，函数在单调递增，即时，函数在上单调递增.
，
函数的值域为.
18、（1）在上单调递增，在上单调递减；
（2）.
【解析】（1）本题可根据正弦函数单调性得出结果；
（2）可令，通过计算得出或，然后根据在上有两个零点即可得出结果.
【详解】（1）令，解得，
令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
（2），
令，则，，
故或，
解得或，
因为在上有两个零点，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
19、（1）（2）x＝2或15x﹣8y﹣30＝0
【解析】（1）由圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，可设圆C的圆心为（a，2a﹣2），半径为r，再由圆C过点A（1，4），B（3，6）两点，列关于a，r的方程组，求解可得a，r的值，则圆C的方程可求；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，求得M，N的坐标，可得|MN|＝2，满足题意；当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），则kx﹣y﹣2k＝0，由|MN|＝2，可得圆心到直线的距离为1，由点到直线的距离公式列式求得k值，则直线l的方程可求
【详解】解：（1）∵圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，
∴设圆C的圆心为（a，2a﹣2），半径为r，
又∵圆C过点A（1，4），B（3，6）两点，
∴，解得，
则圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，
联立，
解得M（2，4），N（2，4），
此时|MN|；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），则kx﹣y﹣2k＝0，
∵|MN|＝2，
∴圆心到直线的距离为d，解得k，
则直线l的方程为15x﹣8y﹣30＝0，
综上，直线l的方程为x＝2或15x﹣8y﹣30＝0

【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题
20、（1）；（2）或.
【解析】（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数的值
试题解析：解：（1）若，则
函数图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，有又，

（2）对称轴为
当时，函数在在区间上是单调递减的，则
，即；
当时，函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则，解得，不符合；
当时，函数在区间上是单调递增的，则
，解得；
综上所述，或
点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）在平面内作出辅助线，然后根据线面平行判定定理证明即可；
（2）作出三棱锥的高，将看作三棱锥的底面，利用三棱锥体积公式计算即可.
【小问1详解】
证明：连接，交于，连接，因为是直三棱柱，所以为中点，而点为的中点，

所以，
因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：过作于，
因为是直三棱柱，点为的中点，
所以，且底面，
所以,
因为，所以，
则 ,
所以