2025-2026学年吉林省长春市榆树市第一高级中学数学高一第一学期期末预测试题含解析.doc

2025-2026学年吉林省长春市榆树市第一高级中学数学高一第一学期期末预测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．平行四边形中，若点满足，，设，则
A. B.
C. D.
2．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）

A. B.
C. D.
3．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）
A. B.
C. D.
4．设且则（ ）
A. B.
C. D.
5．形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
6．已知，，，则a、b、c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
7．角的终边落在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8．已知，，，则，，大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．已知点落在角的终边上，且∈[0，2π)，则的值为（）
A B.
C. D.
10．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．，，则_________
12．若，则______
13．已知函数是定义在上的奇函数，则___________.
14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为___________.

15．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________
16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天）

（个）

已知第天该商品日销售收入为元.
（1）求出该函数和的解析式；
（2）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1) 求实数的值；
(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性；
(3) 若方程在内有解，求实数的取值范围
19．已知函数（为常数），在时取得最大值2.
（1）求的解析式；
（2）求函数在上单调区间和最小值.
20．已知函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围
21．已知函数，，且.
（1）求的值；
（2）求的定义域；
（3）求不等式的解集.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】画出平行四边形，在上取点，使得，在上取点，使得，由图中几何关系可得到，即可求出的值，进而可以得到答案
【详解】画出平行四边形，在上取点，使得，在上取点，使得，则，
故，，则.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题
2、A
【解析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案
【详解】第1次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第2次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；
第3次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；
第4次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第5次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；
前5次累计画线；
第6次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；
第7次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；
第8次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；
第9次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确
故选：A
另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：﹒
故选：A﹒
3、D
【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】若，则，所以，，，ABC均错；
因为，则，因为，则，即.
故选：D.
4、C
【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，
，所以，即，选
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式
5、C
【解析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.
【详解】令，则函数有最小值
∵，
∴当函数是增函数时，在上有最小值，
∴当函数是减函数时，在上无最小值，
∴.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，

由图象可知，它们的图象的交点个数为4.
【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
6、A
【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的知识判断出a、b、c的范围即可.
【详解】因为，，
所以
故选：A
7、A
【解析】根据角的定义判断即可
【详解】，故为第一象限角，故选A
【点睛】判断角的象限，将大角转化为一个周期内的角即可
8、C
【解析】由对数的性质，分别确定的大致范围，即可得出结果.
【详解】因为，所以，，所以，
，，所以.
故选：C.
9、D
【解析】由点的坐标可知是第四象限的角，再由可得的值
【详解】由知角是第四象限的角，
∵，θ∈[0，2π)，∴.
故选：D
【点睛】此题考查同角三角函数的关系,考查三角函数的定义,属于基础题
10、B
【解析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.
【详解】
，
，
，
，
，
所以，
所以.
故答案为：
12、
【解析】由二倍角公式，商数关系得，再由诱导公式、商数关系变形求值式，代入已知可得
【详解】，所以，

故答案为：
13、1
【解析】依题意可得，，则，解得
当时，，则
所以为奇函数，满足条件，故
14、
【解析】计算出等边的边长，计算出由弧与所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.
【详解】设等边三角形的边长为，则，解得，
所以，由弧与所围成的弓形的面积为，
所以该勒洛三角形的面积.
故答案为：.
15、
【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，当时，则，，故答案为.
16、
【解析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可
【详解】由题意可得，
即，解得，
又因为在上单调，
所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，
所以，
又，解得，
所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，
同理，令，，
在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
【点睛】本题综合考查三角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）最小值为元
【解析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式；
（2）求出函数的解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：依题意知第天该商品的日销售收入为，
解得，所以，.
由表格可知，解得.
所以，.
【小问2详解】
解：由（1）知，
当且时，，
当且时，.
，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即.
当时，因为函数、均为减函数，则函数为减函数，
所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为元.
18、（1）1；（2）见解析；（3）[-1，3）.
【解析】(1)根据解得，再利用奇偶性的定义验证，即可求得实数的值；(2)先对分离常数后，判断出为递减函数，再利用单调性的定义作差证明即可；(3)先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数可得，在内有解，令，只要.
【详解】（1）依题意得，，故，此时，
对任意均有，
所以是奇函数，所以.
（2）在上减函数，证明如下：任取，则

所以该函数在定义域上是减函数
（3）由函数为奇函数知，
，
又函数单调递减函数，从而，
即方程在内有解，
令，只要，
， 且，∴
∴当时，原方程在内有解
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数值域的应用，属于难题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
19、（1）；（2）的单调增区间为，单调减区间为，.
【解析】（1）根据对称轴方程为，及最大值为可列出关于的方程组，解方程组可得的值，从而可得结果；（2）根据（1）的结论可知，开口向上的抛物线对称轴在内，结合二次函数的图象可得的单调增区间为，单调减区间为.
【详解】（1）由题意知,∴ ,
∴ .
（2）∵，
∴当时，的单调增区间为，单调减区间为，
又，
∴ 最小值为.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质，应用整体法求单调减区间.
（2）由正弦型函数的性质求值域，结合题设方程有解，即可确定参数范围.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.
【小问2详解】
∵，
∴，又有解，
所以m的取值范围
21、（1）；
（2）或；
（3）或.
【解析】（1）根据的解析式，结合，即可求得；
（2）根据对数的真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果；
（3）根据对数函数的单调性，结合函数定义域，即可求得不等式解集.
【小问1详解】
由题可知，又因为，即，
所以.
【小问2详解】
由知，，
若使有意义，只须，
解得或，
所以函数的定义域为或.
【小问3详解】
由对数函数的单调性可得：
由，解得或，
由，解得，
所以或，
不等式的解集为或.