吉林省吉林市普通中学2025-2026学年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

吉林省吉林市普通中学2025-2026学年高一数学第一学期期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，c=40.1，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（）
A. B.
C. D.
3． “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
4．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
6．如果且，那么直线不经过（）
A第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．过点与且圆心在直线上的圆的方程为
A. B.
C. D.
8．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）
A. B.y＝lnx2，y＝2lnx
C D.
9． “”是 “”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
10．下列函数满足在定义域上为减函数且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是___________，乙组数据的25%分位数是___________

12．已知，点在直线上，且，则点的坐标为________
13．已知函数，则函数的零点个数为__________
14．的值为_______
15．计算：sin150°＝_____
16．__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）已知，则；
（2）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求
18．已知函数，
（1）求在上的最小值；
（2）记集合，，若，求的取值范围.
19．已知函数的定义域为，不等式的解集为
设集合，且，求实数的取值范围；
定义且，求
20．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？
（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.
21．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用指对数函数的性质判断指对数式的大小.
【详解】由，
∴.
故选：A.
2、D
【解析】当，即时，根据当时，，结合函数的奇偶性即可得解.
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，，
当时，，
当，即时，.
故选：D.
3、C
【解析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
4、C
【解析】①当，，且，则，反之当，必有.
②当，，且，则，反之，若，则，
，所以.
③当，则；反之，，.
综上所述，“存在集合使得是“”的充要条件.
考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.
5、D
【解析】求出g(x)解析式，作出g(x)图像，根据图像即可求解﹒
【详解】由题得，，，
∵，∴＝1且＝－1或且＝1，
作的图象，

∴的最小值为＝，
故选：D
6、C
【解析】由条件可得直线的斜率的正负，直线在轴上的截距的正负，进而可得直线不经过的象限
【详解】解：由且，可得直线斜率为，直线在y轴上的截距，故直线不经过第三象限，
故选C
【点睛】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题
7、B
【解析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程.
【详解】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：B
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8、D
【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；
对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
对于C，  定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选：D
9、B
【解析】由等价于，或，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】因为，所以，或，
所以“”是 “”的充分而不必要条件.
故选:B.
10、C
【解析】根据各个基本初等函数的性质，结合函数变换的性质判断即可
【详解】对A，为偶函数，故A错误；
对B，为偶函数，故B错误；
对C，在定义域上为减函数且为奇函数，故C正确；
对D，在和上分别单调递减，故D错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的性质，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.45 ②.35
【解析】利用中位数的概念及百分位数的概念即得.
【详解】由题可知甲组数据共9个数，
所以甲组数据的中位数是45，
由茎叶图可知乙组数据共9个数，又，
所以乙组数据的25%分位数是35.
故答案为：45；35.
12、，
【解析】设点,得出向量,代入坐标运算即得的坐标，得到关于的方程，从而可得结果.
【详解】设点,
因为点在直线,且,
,
或, ，
即或,
解得或;
即点的坐标是，.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
13、3
【解析】由，得，
作出y＝f(x)，的图象，

由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3
故答案为：3
14、
【解析】直接按照诱导公式转化计算即可
【详解】tan300°=tan（300°﹣360°）=tan（﹣60°）=﹣tan60°=
故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值．一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化
15、
【解析】利用诱导公式直接化简计算即可得出答案.
【详解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.
故答案为：
【点睛】本题考查了诱导公式的应用,属于基础题.
16、1
【解析】应用诱导公式化简求值即可.
【详解】原式.
故答案为：1.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）当时，；当时，
【解析】（1）分子分母同时除以，然后代入计算即可；
（2）利用三角函数的定义求出和，再分和讨论计算即可.
【详解】（1）分子分母同时除以得原式＝.
（2）由三角函数的定义可知
，，
当时，，，所以；
当时，，，所以
所以当时，原式；当时，原式
18、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）按对称轴与区间的相对位置关系，分三种情况讨论求最小值；
（2）分与解不等式，再分析的情况即可求解.
【小问1详解】
解：（1）由，抛物线开口向上，对称轴为，
在上的最小值需考虑对称轴与区间的位置关系.
（i）当时，；
（ii）当时，；
（ⅲ）当时，
【小问2详解】
（2）解不等式，即，可得：
当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
（i）当时，要使不等式的解集与有交集，
由得：，
此时对称轴为，
∴只需，即，得.
所以此时
（ii）当时，要使不等式的解集与有交集，
由得：，
此时对称轴为，
∴只需，即，得.
所以此时无解.
综上所述，的取值范围.
19、（1）；（2）
【解析】由二次不等式的解法得，由集合间的包含关系列不等式组求解即可；由对数函数的定义域可得，利用指数函数的单调性解不等式可得，由定义且，先求出，再求出即可
【详解】解不等式，
得：，
即，
又集合，且，
则有，
解得：，
故答案为 .
令，
解得：，
即，
由定义且可知：
即，
即，
故答案为.
【点睛】本题考查了二次不等式的解法、对数函数的定义域、指数函数的单调性以及新定义问题，属中档题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
20、（1）400吨；（2）该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【解析】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，化简后再利用基本不等式即可求出最小值．
（2）该单位每月获利为元，则，由的范围，利用二次函数的性质得到的范围即可得结论
【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元.
（2）不获利，设该单位每月获利为元，
则
，
因为，
所以时取最大值，时取最小值，
所以.
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据并集的概念运算可得结果；
（2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）因为，
（i）当，即时，，符合题意；
（ii）当时，，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况.