北京八中2025-2026学年数学高二第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

北京八中2025-2026学年数学高二第一学期期末检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（）
A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1
C.x2－＝1(x1) D.－x2＝1
2．若数列满足，则的值为（ ）
A.2 B.
C. D.
3．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
4．若数列满足，则数列的通项公式为（）
A. B.
C. D.
5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
6．已知等差数列满足，则等于（ ）
A. B.
C. D.
7．已知，则条件“”是条件“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.
8．在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．若是真命题，是假命题，则
A.是真命题 B.是假命题
C.是真命题 D.是真命题
10．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
11．已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为，则m＝（）
x
1
2
3
4
y
0.1
1.8
m
4
A.3.1 B.4.3
C.1.3 D.2.3
12．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.

14．以下数据为某校参加数学竞赛的名同学的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.则这人成绩的第百分位数可以是______
15．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.
16．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：
补贴额x（单位：百万元）
2
3
4
5
6
经济回报y（单位：千万元）
2.5
3
4
4.5
6
（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；
（2）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望.
参考公式：
18．（12分）已知等比数列{}的各项均为正数，，，成等差数列，，数列{}的前n项和，且.
（1）求{}和{}的通项公式；
（2）设，记数列{}的前n项和为.求证：.
19．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值
20．（12分）已知函数．若图象上的点处的切线斜率为
（1）求a，b的值；
（2）的极值
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，分别为，的中点

（1）证明：平面；
（2）证明：平面
22．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.

（1）证明：；
（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据双曲线定义求解
【详解】,则
根据双曲线定义知的轨迹为的左半支
故选：A
第II卷（非选择题
2、C
【解析】通过列举得到数列具有周期性，，所以.
详解】，
同理可得：，
可得，则.
故选:C.
3、B
【解析】根据给定的不等式构造函数，再探讨函数的性质，借助性质解不等式作答.
【详解】依题意，令，因是R上的奇函数，则，即是R上的奇函数，
当时，，则有在单调递增，
又函数在R上连续，因此，函数在R上单调递增，
不等式，
于是得，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：B
4、D
【解析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式；
【详解】解：因为①，当时，，当时②，
①②得，所以，当时也成立，所以；
故选：D
5、A
【解析】本题考查双曲线的定义、几何性质及直角三角形的判定即可解决.
【详解】因为，，
所以在中，边上的中线等于的一半，
所以．因为，
所以可设，，
则，解得，
所以，
由双曲线的定义得，
所以双曲线的离心率
故选：A
6、A
【解析】利用等差中项求出的值，进而可求得的值.
【详解】因为得，因此，.
故选：A.
7、A
【解析】若命题 ，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件
【详解】因为 ，所以，所以.
故选：A
8、D
【解析】利用正弦定理边角互化思想化简得出，利用余弦定理化简得出，结合，根据函数在上的单调性可求得的取值范围.
【详解】且，所以，
由正弦定理得，即，
，，所以，，则，
由余弦定理得，
，则，由于双勾函数在上单调递增，
则，即，所以，.
因此，的取值范围为.
故选：D.
【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
9、D
【解析】因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.
考点：真值表的应用.
10、B
【解析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】因为，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以,
因为M，N分别为BC，AD的中点，
所以，
所以，
设直线AM和CN所成的角为，则
,
所以直线AM和CN夹角的余弦值为，
故选：B

11、A
【解析】先求得样本中心，代入回归方程，即可得答案.
【详解】由题意得，
又样本中心在回归方程上，
所以，解得.
故选：A
12、A
【解析】记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，进而结合对立事件的概率公式得，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，
则为该集成块不能正常工作，
所以，，
所以
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.
【详解】由图象可知直线过，
所以直线的斜率为，
所以.
故答案为：
14、
【解析】利用百分位数的求法直接求解即可.
【详解】解：将所给数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
数据量，
∵是整数，
∴
故答案为：.
15、 ①.； ②.
【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，所以数列是以，公差为的等差数列，
所以；
因为，
所以，
于是，
故答案为：；
16、8
【解析】设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由体积法求得的关系，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面积的最小值
【详解】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，
由长方体性质知两两垂直，所以，，，，
，
所以，
由得，
所以，
∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，
∴h＝2，
∴，，
∴xy≥8，
再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，
得，S△C′PQ＝xy，
∴△PQC'的面积的最小值是8
故答案为：8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，
（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望
【小问1详解】
.
，.
.
.
【小问2详解】
由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.
，
，
分布列为

0
1
2
3

.
18、（1）
（2）证明见解析
【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，解得．由，利用通项公式解得，可得．由数列的前项和，且，时，，化简整理即可得出；
（2），利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论
【小问1详解】
设等比数列的公比为，，，成等差数列，
，即，化为：，解得
，，即，解得，

数列的前项和，且，
时，，化为：，
，数列是每项都为1的常数列，
，化为
【小问2详解】
证明：，
数列的前项和为，

19、（1）证明见解析；（2）
【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；
(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.
【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，
故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，则，
所以，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，
因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
20、（1）
（2）极大值为，极小值为
【解析】（1）求出函数的导函数，再根据图象上的点处的切线斜率为，列出方程组，解之即可得解；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得
，令，得
或，，

－1
（－1，3）
3

＋
0
－
0
＋

的极大值为，极小值为.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）取中点，结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，由此得到，由线面平行判定定理可证得结论；
（2）利用菱形特点和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）取中点，连接，

分别为中点，，
四边形为菱形，为中点，，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）连接，

四边形为菱形，，为等边三角形，
又为中点，，
平面，平面，，
又平面，，平面.
22、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接交于点，连接，要证明，只需证明平面即可；
（2）以D为原点建系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接
四边形为正方形，
，且为的中点
又四边形为菱形，

平面
平面
又平面OAE
.

（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，
则
由（1）得
又平面平面，平面平面，
平面ABCD，故，同理，

设为平面的法向量，为平面的法向量，
则故可取，
同理故可取，
所以
设平面与平面所成的二面角为，则，
所以平面与平面所成的二面角的正弦值为