上海市进才中学2025年高二上数学期末达标检测试题含解析.doc

上海市进才中学2025年高二上数学期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A. B.
C. D.
2．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A.C的方程为
B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24
C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线
D.在C上存在点M，使得
3．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于， 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则
A. B.
C. D.
4．在直三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
5．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）
A B.
C. D.
8．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（ ）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A.148 B.116
C.222 D.325
9．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()
A. B.
C. D.
10．已知x，y是实数，且，则的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
11．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）
A. B.
C.或 D.或
12．等比数列的各项均为正数，且，则=（）
A.8 B.16
C.32 D.64
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数定义域为___________.
14．如图直线过点，且与直线和分别相交于，两点.

（1）求过与交点，且与直线垂直的直线方程；
（2）若线段恰被点平分，求直线的方程.
15．复数的共轭复数是__________
16．半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且长轴长为4
（1）求C的标准方程；
（2）直线，分别经过点与C相切，切点分别为A，B，证明：
18．（12分）设数列的前项和为，已知，且
（1）证明：；
（2）求
19．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF

（1）求证：；
（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值
20．（12分）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.

（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
重量范围（单位：）

个数

为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
21．（12分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.
（1）求数列{}和数列}的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
①记，求{}的通项公式；
②求的值.
22．（10分）2021年国务院政府工作报告中指出，扎实做好碳达峰、碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，若现对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
x
y
160
经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为乙＝120 g/km.
（1）求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；
（2）若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质
2、C
【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假
【详解】对A，由可得，化简得，
即，A错误；
对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；
对C ，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；
对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误
故选：C
3、A
【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选A.

4、C
【解析】分析得出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.
【详解】由题意可知，，因为，，则，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、、，，，
，
因此，异面直线与所成的角为.
故选：C.
5、A
【解析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.
【详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.

故选：A
6、D
【解析】根据给定递推公式求出即可计算作答.
【详解】因数列的前n项和为，，，则，
，，
所以.
故选：D
7、D
【解析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.
【详解】解：由得，
所以椭圆的焦点为.
设双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以.
所以双曲线的方程为.
故选：D
8、A
【解析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.
【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），
573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，
故选出的第3个样本的编号为148.
故选：A.
9、A
【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，半径，
∴圆方程为﹒
故选：A﹒
10、D
【解析】将方程化为圆的标准方程，则的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，进而根据直线与圆相切求得答案.
【详解】方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与点A连线的斜率，设，即，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB时斜率最大.

此时，，，所以的最大值为.
故选：D
11、C
【解析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【详解】依题意设抛物线方程为
因为焦点到准线的距离为4，
所以，所以，
所以抛物线方程或
故选：C
12、B
【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据函数定义域的求法，即可求解.
【详解】解：,解得,故函数的定义域为:.
故答案为：.
14、（1）；（2）.
【解析】本题考查直线方程的基本求法：垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法
【详解】（1）由题可得交点，
所以所求直线方程为，即；
（2）设直线与直线相交于点，
因为线段恰被点平分，
所以直线与直线的交点的坐标为
将点，的坐标分别代入，的方程，
得方程组
解得
由点和点及两点式，得直线的方程为，
即
【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主．点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称，是重点考察内容
15、
【解析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可.
【详解】，
∴.
故答案为：
16、
【解析】利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用函数的值域计算得结论.
【详解】因为
所以由正弦定理得：，
即，
所以由余弦定理可得：，
又，
故.
由正弦定理得：，，
所以

，
所以当时，S最大，.
若，则面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据共焦点求出参数c，由长轴长求参数a，即可确定C的标准方程；
（2）令过切线为，联立椭圆C结合得到关于k的一元二次方程，根据根与系数关系即可证明结论.
【小问1详解】
由题设，对于椭圆C有，又椭圆的焦点为，则，
所以，故C的标准方程.
【小问2详解】
由题设，直线，的斜率必存在，令椭圆C的切线方程为，

联立椭圆方程并整理可得：，
由相切关系知：，整理得：，
所以，即直线，相互垂直，则.
18、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可；
（2）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.
【详解】（1）由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，
（2）由（1）知，，所以，
于是数列是首项，公比为3的等比数列，
数列是首项，公比为3的等比数列，
所以，
于是

从而，
综上所述，.
【点睛】已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.
（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，
又平面PBC，所以平面PBC，
因为平面平面，所以
【小问2详解】
因为平面平面ABC，取BC中点O，
连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，

所以平面ABC，故，又因，
所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
可得：，，，，，
所以，，，
设平面PAC的法向量为，则,则，
令，得，，所以，

所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
20、（1）；
（2）分布列答案见解析，数学期望为.
【解析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
【小问1详解】
解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
【小问2详解】
解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：

所以
21、（1），
（2）①；②
【解析】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；
（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列{}的公差为d，则d=1，
由，
即，可得，
所以{}的通项公式为；
由可知：
当，得，
当时，，
两式相减得；，即，
所以{}是以为首项，为公比的等比数列，
故.
【小问2详解】
①，
两式相加，得
所以；
②，
，
两式相减得：
，
故.
22、（1），600
（2）
【解析】用平均数及方差公式计算即可.
用平均值得、之间的关系，再由，解不等式可得解.
【小问1详解】
甲类品牌汽车的排放量的平均值，
甲类品牌汽车的排放量的方差
.
【小问2详解】
由题意知乙类品牌汽车的排放量的平均值
＝120(g/km)，
得x＋y＝220，故y＝220－x，
所以乙类品牌汽车的排放量的方差
，
因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车的排放量稳定性好，所以，
解得.