2026届浙江省杭州市余杭第二高级中学高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2026届浙江省杭州市余杭第二高级中学高一数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）
A.0 B.
C. D.1
2．直线的斜率为，在y轴上的截距为b，则有（　　）
A. B.
C. D.
3．设函数，则下列说法错误的是（）
A.当时，的值域为
B.的单调递减区间为
C.当时，函数有个零点
D.当时，关于的方程有个实数解
4．已知函数，则的图像大致是（）
A. B.
C. D.
5．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）
A. B.7
C. D.-7
6．下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在上单调递增是
A. B.
C. D.
7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
8．设则下列说法正确的是（ ）
A.方程无解 B.
C.奇函数 D.
9．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A. B.8
C.6 D.
10．已知，，函数的零点为c，则（　　）
A.c＜a＜b B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则______
12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为___________.
13．已知则________
14．若直线与圆相切，则__________
15．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.
16．将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．化简与计算
（1）；
（2）.
18． “百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利万元与技术投入万元之间满足的关系式：.该公司希望流水线改造后获利不少于万元，其中为常数，且.
（1）试求该流水线技术投入的取值范围；
（2）求流水线改造后获利的最大值，并求出此时的技术投入的值.
19．已知：，．设函数
求：（1）的最小正周期；
（2）的对称中心，
（3）若，且，求
20．某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农品需投入固定成本2万元，每加工万千克该农产品，需另投入成本万元，且.已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.
（1）求加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系；
（2）当加工量小于6万千克时，求加工后的农产品利润的最大值.
21．已知函数.
（1）证明为奇函数；
（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值.
【详解】根据题意，令，为常数，
可得，且，
所以时有，
将代入，等式成立，
所以是的一个解，
因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，
所以可知函数有唯一解，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数单调性和函数的表示方法，属于中档题.
2、A
【解析】将直线方程化为斜截式，由此求得正确答案.
【详解】，所以.
故选：A
3、C
【解析】利用二次函数和指数函数的值域可判断A选项；利用二次函数和指数函数的单调性可判断B选项；利用函数的零点个数求出的取值范围，可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】选项A：当时，当时，，
当时，，
当时，，
综上，函数的值域为，故A正确；
选项B：当时，的单调递减区间为，
当时，函数为单调递增函数，无单调减区间，
所以函数的单调递减为，故B正确；
选项C：当时，令，解得或（舍去），
当时，要使有解，即在上有解，只需求出的值域即可，
当时，，且函数在上单调递减，
所以此时的范围为，故C错误；
选项D：当时，，即，即，解得或，
当，时，，则，即，解得，
所以当时，关于的方程有个实数解，故D正确.
故选：C.
4、C
【解析】判断函数的奇偶性，再利用时，函数值的符号即可求解.
【详解】由，
则，
所以函数为奇函数，排除B、D.
当，则，
所以，，
所以，排除A.
故选：C
5、B
【解析】先由同角三角函数关系式求出，再利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】因为，是第二象限的角，
所以，所以.
所以.
故选：B
6、C
【解析】是偶函数，是奇函数，和既不是奇函数也不是偶函数，在上是减函数，是增函数，故选C
7、C
【解析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
8、B
【解析】根据函数的定义逐个分析判断
【详解】对于A，当为有理数时，由，得，所以A错误，
对于B，因为为无理数，所以，所以B正确，
对于C，当为有理数时，也为有理数，所以，当为无理数时，也为无理数，所以，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以D错误，
故选：B
9、B
【解析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长
【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，
所以四边形的周长为：
故选：B

10、B
【解析】由函数零点存在定理可得，又，，从而即可得答案.
【详解】解：因为在上单调递减，且，，
所以的零点所在区间为，即．又因为，，所以a＜c＜b
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】根据给定条件利用周期性、奇偶性计算作答.
【详解】因函数是上周期为2的奇函数，，
所以.
故答案为：1
【点睛】易错点睛：函数f(x)是周期为T周期函数，T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期.
12、2
【解析】将数据，，，代入公式，得到，解指数方程，即得解
【详解】将，，，
代入得，
所以，
，
所以，
即.
故答案为：2
13、
【解析】分段函数的求值，在不同的区间应使用不同的表达式.
【详解】，
故答案为：.
14、
【解析】由直线与圆相切可得圆心到直线距离等与半径，进而列式得出答案
【详解】由题意得，，解得
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题
15、
【解析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.
【详解】设扇形的半径为r，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为.
故答案为：.
16、1
【解析】设该圆锥的底面半径为r，推导出母线长为2r，再由圆锥的高为，能求出该圆锥的底面半径
【详解】
设该圆锥的底面半径为r，
将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，
，
解得，
圆锥的高为，
，
解得
故答案为1
【点睛】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥性质、圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）5
【解析】（1）根据指数的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算法则计算即可.
【小问1详解】
原式=.
【小问2详解】
原式.
18、（1）；（2）当时，，此时；当时，，此时.
【解析】（1）由题意得出，解此不等式即可得出的取值范围；
（2）比较与的大小关系，分析二次函数在区间上的单调性，由此可得出函数的最大值及其对应的的值.
【详解】（1），，由题意可得，即，
解得，因此，该流水线技术投入的取值范围是；
（2）二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，当时，；当时，
【点睛】本题考查二次函数模型的应用，同时也考查了二次函数最值的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
19、（1）；（2）（k∈Z）；（3）或.
【解析】（1）
解：由题意，，
（1）函数的最小正周期为；
（2），得，所以对称中心；
（3）由题意，，得或，所以或
点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用．本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得到，利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等
20、（1）；
（2）万元.
【解析】（1）按照利润=销售额-利润计算即可；
（2）当加工量小于6万千克，求二次函数的最值即可.
【小问1详解】
当时，，当时，，故加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系为；
【小问2详解】
当加工量小于6万千克时，，当时，农产品利润取得最大值万元.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；
（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.
【小问1详解】
对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，
∴，
∴，故函数为奇函数；
【小问2详解】
∵函数为奇函数且在上的单调函数，
∴
由
可得，其中，
设，则，
则.∵则，
若关于的方程在上只有一个实根，
则或.
所以，
令，其中.
所以，函数在时单调递增.
①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.
则，解得；
②若为函数的唯一零点，则，解得，
∵，则.
且当时，设函数的另一个零点为，则，
可得，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.