2025年江西省四校协作体数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年江西省四校协作体数学高一第一学期期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（）
A. B.
C. D.
2．已知，且，则（）
A. B.
C. D.
3．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则
A. B.
C.1 D.
4．表示集合中整数元素的个数，设，，则（）
A.5 B.4
C.3 D.2
5．给定已知函数.若动直线y=m与函数的图象有3个交点，则实数m的取值范围为
A. B.
C. D.
6．函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
7．已知向量，且，则实数=
A B.0
C.3 D.
8．过原点和直线与的交点的直线的方程为（）
A. B.
C. D.
9．设集合，，则（）
A B.
C. D.
10．设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在正三角形中，是上的点，，则________
12．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___
13．若扇形AOB的圆心角为，周长为10+3π，则该扇形的面积为_____
14．已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.
15．函数的定义域为______
16．函数（且）的定义域为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设是实数，
（1）证明：f(x)是增函数；
（2）试确定的值，使f(x)为奇函数
18．已知集合，，.
（1）求，
（2）若，求实数a的取值范围
19．某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题：
问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？
问题2：你是否抽烟？
每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？
20．已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域.
21．已知函数（，且）.
（1）求的值，并证明不是奇函数；
（2）若，其中e是自然对数的底数，证明：存在不为0的零点，并求.
注：设x为实数，表示不超过x的最大整数.
参考数据：，，，.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据函数在上是增函数，且是上凸函数判断.
【详解】由当时，总有，
得函数在上是增函数，
由，
得函数是上凸函数，
在上是增函数是增函数，是下凸函数，故A错误；
在上是增函数是增函数，是上凸函数，故B正确；
在上是增函数，是下凸函数；故C错误；
在上是减函数，故D错误.
故选：B
2、B
【解析】利用角的关系，再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】，，

.
故选：B
3、C
【解析】由题意，故选C
4、C
【解析】首先求出集合，再根据交集的定义求出，即可得解；
【详解】解：因为，，所以，则，，，所以；
故选：C
5、B
【解析】画出函数的图像以及直线y=k的图像，根据条件和图像求得k的范围。
【详解】设，由题可知，当，即或时，；当，即时，，因为，故当时，，当时，，
做出函数的图像如图所示，直线y=m与函数有3个交点，可得k的范围为（4,5）.

故选：B
【点睛】本题考查函数图像与直线有交点问题，先分别求出各段函数的解析式，再利用数形结合的方法得到参数的取值范围。
6、D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复
7、C
【解析】由题意得，，因为，所以，解得，故选C.
考点：向量的坐标运算.
8、C
【解析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.
【详解】由可得，
故过原点和交点的直线为即，
故选：C.
9、C
【解析】利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C
10、B
【解析】等价于，即或
，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解
【详解】作出函数的图象如下图所示
变形得，
由此得或，方程只有两根
所以方程有三个不同实根，则，
故选：B
【点睛】易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质
12、
【解析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.
【详解】圆的标准方程为，则，
若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.
13、
【解析】设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，由已知可得l＝3π，r＝5，再结合扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，
∴，l+2r＝10+3π，
∴l＝3π，r＝5，
∴该扇形的面积S，
故答案为：.
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式及扇形的面积公式，重点考查了方程的思想，属基础题.
14、
【解析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.
【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，
故答案为:
15、
【解析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得
，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
16、
【解析】根据对数的性质有，即可求函数的定义域.
【详解】由题设，，可得，即函数的定义域为.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）1
【解析】（1）设x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）=，结合指数函数的单调性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的单调性且与a的值无关；
（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），对其变形，解可得a的值，即可得答案
【详解】(1)证明：设x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=，
又由y=2x在R上为增函数，则＞0，＞0，
由x1＜x2，可得﹣＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
故f（x）为增函数，与a的值无关，
即对于任意a，f（x）在R为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，
必有有f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣（a﹣），变形可得2a==2，
解可得，a=1，
即当a=1时，f（x）为奇函数
【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
18、（1）；；
（2）.
【解析】(1)解不等式化简集合B，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答.
(2)由已知可得，再利用集合的包含关系列式计算作答.
【小问1详解】
解得：，则，而，
所以，或，.
【小问2详解】
，因，则，于是得，
所以实数a的取值范围是.
19、36
【解析】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是，从而可得回答各个问题以及不回答问题的人数，进而可得回答第一个问题是“是”的人数，根据石子数得出100人中抽烟的人数，从而估计出该学校吸烟的人数.
【详解】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是.
即我们期望大约有人回答了第一个问题，
人不回答任何问题，
人回答了第二个问题.
在回答阳历生日月份是奇数的概率是.
因而回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”.
所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”.
即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟.
【点睛】本题考查了概率的应用，解题的关键是理解题干各个量之间的关系，属于基础题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由可得，由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式；
（2）由二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域.
【小问1详解】
解：由可得，
，
由得，
所以，解得，所以.
【小问2详解】
解：由（1）可得：，
则的图象的对称轴方程为，，
又因为，，
所以，在区间上的值域为.
21、（1），证明见解析
（2）证明见解析，
【解析】（1）利用，可证明；
（2）利用零点的判定方法证明（5），可求得
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
不是奇函数；
【小问2详解】
，
，
（5），
（5），
存在不为0的零点