2025-2026学年湖南省长沙市长郡中学数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省长沙市长郡中学数学高一上期末经典模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，， ，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）
A. B.6
C. D.7
3．函数的零点所在的区间是（）
A.（0，1） B.(1，2)
C.(2，3) D.（3，4）
4．若＜α＜π，化简的结果是（　　）
A. B.
C. D.
5．定义运算，若函数，则的值域是（）
A. B.
C. D.
6．已知空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点的坐标为
A. B.
C. D.
7．已知正方体ABCD-ABCD中,E、F分别为BB、CC的中点,那么异面直线AE与DF所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
8．函数图像大致为（）
A. B.
C. D.
9．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
10．设，,下列图形能表示从集合A到集合B的函数图像的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______
12．函数的最小正周期是__________
13．函数的最大值是，则实数的取值范围是___________
14．已知函数，若在上是增函数，且直线与的图象在上恰有一个交点，则的取值范围是________.
15．已知，若Î，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.
16．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数(R).
（1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;
（2）若为锐角，且，求的值.
18．已知的图象上相邻两对称轴的距离为.
（1）若，求的递增区间；
（2）若时，若最大值与最小值之和为5，求的值.
19．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．已知函数.
（1）当时，试判断并证明其单调性.
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
21．(1)求两条平行直线3x＋4y－6＝0与ax＋8y－4＝0间的距离
(2)求两条垂直的直线2x＋my－8＝0和x－2y＋1＝0的交点坐标
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】已知，， ，则，
因此，.
故选：C.
2、D
【解析】先求出，再求出即得解.
【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则
由题设，当时，，则
因为为奇函数，所以.
故选：D
3、B
【解析】先求得函数的单调性，利用函数零点存在性定理，即可得解.
【详解】解：因为函数均为上的单调递减函数，
所以函数在上单调递减，
因为，，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
4、A
【解析】利用三角函数的平方关系式，根据角的范围化简求解即可
【详解】= 因为＜α＜π所以cos<0,结果为,故选A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，考查计算能力
5、C
【解析】由定义可得，结合指数函数性质即可求出.
【详解】由定义可得，
当时，，则，
当时，，则，
综上，的值域是.
故选：C.
6、C
【解析】∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），
∴点关于z轴的对称点的坐标为：
故选：C
7、C
【解析】连接DF,因为DF与AE平行,所以∠DFD即为异面直线AE与DF所成角的平面角,设正方体的棱长为2,则FD=FD=,由余弦定理得cos ∠DFD==.
8、B
【解析】先求出函数的定义域，判断出函数为奇函数，排除选项D，由当时，，排除A，C选项，得出答案.
【详解】解析：定义域为，
，所以为奇函数，可排除D选项，
当时，，，由此，排除A，C选项，
故选： B
9、B
【解析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.
【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，
所以在上单调递减，.
又因为，
因为，在上单调递减,
所以，
即.
故选：B.
10、D
【解析】从集合A到集合B的函数，即定义域是A，值域为B，逐项判断即可得出结果.
【详解】因为从集合A到集合B的函数，定义域是A，值域为B；所以排除A,C选项，又B中出现一对多的情况，因此B不是函数，排除B.
故选D
【点睛】本题主要考查函数图像，能从图像分析函数的定义域和值域即可，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】设出幂函数，代入点即可求解.
【详解】由题意，设，代入点得，解得，则.
故答案为：.
12、
【解析】根据正弦函数的最小正周期公式即可求解
【详解】因为
由正弦函数的最小正周期公式可得
故答案为：
13、 [－1,0]
【解析】函数，当时，函数有最大值，又因为，所以，故实数的取值范围是
14、
【解析】由正弦函数的单调性以及图象的分析得出的取值范围.
【详解】因为在上是增函数，所以，解得
因为直线与的图象在上恰有一个交点，所以，解得，综上.
故答案为：
15、
【解析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
【详解】作出在上的图象（如图所示）

因为，，
所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，
由，得，
则，，，；
当的图象与直线相交时，
设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，
由，得，
则，，；
所以.
故答案为：.
16、 ①. ②.
【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．(2) .
【解析】（1）由倍角公式，辅助角公式，化简f（x），利用三角函数的图像和性质即可得解.
（2）把代入f（x）的解析式得f（）的解析式，可求得，进而求得.
【详解】（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x，
，

∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为
（2）∵，∴
∴
∵θ为锐角，
∴.
∴
【点睛】本题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系等知识，考查运算求解能力，属于中档题
18、 (1)增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z (2)
【解析】首先根据已知条件，求出周期，进而求出的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间，，即可求出的递增区间
由确定出的函数解析式，根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到的值
解析：已知
由，则T＝π＝，∴w＝2
∴
（1）令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ则－＋kπ≤x≤＋kπ
故f(x)的增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z
（2）当x∈[0, ]时，≤2x＋≤
∴sin(2x＋)∈[－, 1]
∴∴
点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题
19、（1）1（2）
（3）存在，
【解析】（1）根据求解并检验即可；
（2）先证明函数单调性得在上为增函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可；
（3）根据题意，将问题方程有两个不相等的实数根，再利用换元法，结合二次方程根的关系求解即可.
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，即，得.
此时，，满足.
所以
【小问2详解】
解：由（1）知，，
且，则
.
∵，∴，，
∴，即，故在上增函数
∴原不等式可化为，即
∴，
∴
∴，
∴原不等式的解集为
【小问3详解】
解：设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是，
则，即，
∴方程，即有两个不相等的实数根
∴方程有两个不相等的实数根
令，则，故方程有两个不相等的正根
故，解得
∴存在实数，使得函数在区间上的取值范围是，
其中的取值范围为.
20、（1）单调递增，证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用单调性定义证明的单调性；
（2）根据奇偶性定义判断奇偶性，结合（1）的区间单调性确定上的单调性，进而求的值域，令将问题转化为求参数范围.
【小问1详解】
在上单调递增，证明如下：
，且，则，
由得：，，
所以，即在上的单调递增
【小问2详解】
由题设，使，
又，即是偶函数，
结合（1）知：在单调递减，在上单调递增，又，
所以，即，
令，则使，可得，
令在单调递增，故；
所以，即.
21、（1）（2）(3,2)
【解析】（1）根据两平行线的距离公式得到两平行线间的距离为；（2）联立直线可求得交点坐标.
解析：(1)由，得
两条直线的方程分别为3x＋4y－6＝0，6x＋8y－4＝0即3x＋4y－2＝0
所以两平行线间的距离为
(2)由2－2m＝0，得m＝1
由，得
所以交点坐标为(3,2)