新疆生产建设兵团一师高中2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

新疆生产建设兵团一师高中2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了（）
A. B.
C. D.
2．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
3．在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（）
A. B.
C. D.
4．设，直线，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.02
C.63 D.14
6．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）
A. B.，或
C.，或 D.，或，或
7．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（）
A.20 B.14
C.12 D.6
8．若曲线表示圆，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为
A. B.1
C. D.
10．已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
11．若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
12．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）
A. B.
C. D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个次多项式写成个一次式相组合的形式，如可将写成，由此可得__________
14．已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则的面积为__________.
15．已知圆锥的母线长为cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____cm.
16．某校有高一学生人，高二学生人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取人，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图

（1）求值并估计中位数所在区间
（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由
18．（12分）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
19．（12分）已知数列中，数列的前n项和为满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.
20．（12分）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于直线对称，求的最大值.
21．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点F到上顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线与椭圆交于A、B两点，使得点C（）在线段AB的中垂线上？若存在，求出直线l：若不存在，说明理曲.
22．（10分）已知点P到点的距离比它到直线的距离小1.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点M，N在点P的轨迹上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），求面积的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边作差比较即可得到答案
【详解】用数学归纳法证明等式的过程中，
假设时不等式成立，左边，
则当时，左边，
∴从到时，不等式的左边增加了
故选：B
2、B
【解析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.
【详解】解：∵，而，
∴，又，即，
又，，
∴，
若，则，
∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则，
∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又，
∴当且仅当三点共线且时，最小为.
故选：B.

【点睛】关键点点睛：由已知确定，，构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.
3、C
【解析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于的区域，进而根据面积比求概率.
【详解】由题意知：若两个数分别为，则，

如上图示，阴影部分即为，
∴两数之和小于的概率.
故选：C
4、A
【解析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，解得或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5、D
【解析】由随机数表法抽样原理即可求出答案.
【详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三个个体编号为14.
故选：D.
6、D
【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果.
【详解】不等式解集为，即的二根是1和2，利用根和系数的关系可知，故不等式即转化成，即，等价于或者，解得或，或者.故解集为，或，或.
故选：D.
【点睛】分式不等式的解法：
（1）先化简成右边为零的形式（或），等价于一元二次不等式（或）再求解即可；
（2）先化简成右边为零的形式（或），再利用分子分母同号（或者异号），列不等式组求解即可.
7、B
【解析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；
【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；
（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，
故选：B
8、C
【解析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】或.
故选：C.
9、A
【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.
【详解】如图所示

由正四面体的性质可得：
可得：
是棱中点

故选：
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.
10、B
【解析】连接，得到，作，求得，利用椭圆的定义，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解椭圆的离心率.
【详解】如图所示，连接，因为圆，可得，
过点作，可得，且，
由椭圆的定义，可得，所以，
在直角中，可得，即，
整理得，
两侧同除，可得，解得或，
又因为，所以椭圆的离心率为.
故选：B

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，直角三角形的勾股定理，以及椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，结合直角三角形的勾股定理，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
11、C
【解析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.
【详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.
故选：C
12、C
【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.
【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用代入法进行求解即可.
【详解】
故答案为：
14、42
【解析】由焦半径公式求得参数，得抛物线方程，从而可求得两点纵坐标，再求得直线与轴的交点坐标后可得面积
【详解】因为，所以，抛物线的方程为，把代入方程，得（舍去），
即.同理，直线方程为，即．所以直线与轴交于点，
所以.
故答案为：42
15、
【解析】根据题意可知圆锥侧面展开图的半圆的半径为cm，再根据底面圆的周长等于侧面的弧长，即可求出结果.
【详解】设底面圆的半径为，
由于侧面展开图是一个半圆，又圆锥的母线长为cm，
所以该半圆的半径为cm，
所以，所以（cm）.
故答案为：.
16、
【解析】根据分层抽样的等比例性质列方程，即可样本容量n.
【详解】由分层抽样的性质知：，可得.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；中位数所在区间
（2）选90分以上的人去参赛；答案见解析
【解析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.
（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.
【小问1详解】
，解得
成绩在区间上的频率为，，
所以中位数所在区间，
【小问2详解】
选成绩最好的同学去参赛，
分数在之间共有人，
所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）
18、（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）证明见解析
【解析】（1）当时，利用求得的单调区间.
（2）将问题转化为证明，利用导数求得的最小值大于零，从而证得不等式成立.
【小问1详解】
当时，，
且，
又与均在上单调递增，
所以在上单调递增.
当时，单调递减；
当时，单调递增
综上，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
因为，所以，要证，
只需证当时，即可.
，易知在上单调递增，
又，
所以，且，
即，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
，
所以.
【点睛】在证明不等式的过程中，直接证明困难时，可考虑证明和两个不等式成立，从而证得成立.
19、（1）证明见解析；
（2）2735.
【解析】(1)利用给定的递推公式结合“当时，”计算推理作答.
(2)插入所有项构成数列，，再确定数列的前50项中含有数列和的项数计算作答.
【小问1详解】
依题意，，当时，，两式相减得：，
则有，而，即，
所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列.
【小问2详解】
由(1)知，，即，插入的所有项构成数列，，
数列中前插入数列的项数为：，
而前插入数列的项数为45，
因此，数列的前50项中包含数列前9项，数列前41项，
所以.
20、（1）
（2）
【解析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.
（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.
【小问1详解】
设，由题意，得：
，
化简得，
所以点轨迹方程为
【小问2详解】
方法一：设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
因为点在圆，即上运动，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以两圆的圆心分别为，半径均为2，
则.
方法二：由可得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
轨迹的圆心到直线的距离为：

21、（1）
（2）存在，
【解析】（1）由题意可得，，求得的值即可求解；
（2）由（1）得，假设存在满足条件的直线：，代入椭圆方程消去可得、，由中点坐标公式可得中点的坐标，由求得的值即可求解.
小问1详解】
由题意可得，，，
解得，，所以椭圆的方程为
【小问2详解】
由（1）得，假设存在满足条件的直线：，
代入椭圆方程整理可得，
设，，则，，
可得，
则线段的中点坐标为，
所以，
则，解得：，
所以存在直线，且直线的方程为
22、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得点P到点的距离等于它到直线的距离，再由抛物线定义即可得解.
(2)由(1)设出点M，N的坐标，再结合给定条件及三角形面积定理列式，借助均值不等式计算作答.
【小问1详解】
因点P到点的距离比它到直线的距离小1，显然点P与F在直线l同侧，
于是得点P到点的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹是以F为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点P的轨迹方程是.
【小问2详解】
由(1)设点，，且，因，则，解得，

，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.