2025年广西桂林市龙胜中学数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025年广西桂林市龙胜中学数学高一第一学期期末考试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数在区间上为偶函数，则的值为（ ）
A.-1 B.1
C.2 D.3
2．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
A①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
3．如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（）

A. B.
C. D.不能求
4．若直线与直线垂直，则()
A.1 B.2
C. D.
5．已知函数，则下列区间中含有的零点的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　）
A. B.
C. D.
7．若实数满足，则的最小值为（）
A.1 B.
C.2 D.4
8．下列函数中，最小正周期为的是（）
A. B.
C. D.
9．向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．满足的集合的个数为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．下列命题中正确的是________
（1）是的必要不充分条件
（2）若函数的最小正周期为
（3）函数的最小值为
（4）已知函数，在上单调递增，则
12．已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________
13．已知，则____________.
14．若函数的图象关于直线对称，则的最小值是________.
15．已知是半径为，圆角为扇形,是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为________.

16．已知函数则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．△ABC的两顶点A（3，7），B（，5），若AC的中点在轴上，BC的中点在轴上
（1）求点C的坐标；
（2）求AC边上中线BD的长及直线BD的斜率
18．已知函数，函数的图像与的图像关于对称.
（1）求的值；
（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k取值范围；
（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
19．函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①；②；
（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；
（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.
20．已知函数（）在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴正半轴的交点，为等腰直角三角形.
（1）求的值；
（2）将绕点按逆时针方向旋转角（），得到，若点和点都恰好落在曲线（）上，求的值.
21．（1）计算：；
（2）已知，，求证：
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由区间的对称性得到，解出b；利用偶函数，得到，解出a，即可求出.
【详解】因为函数在区间上为偶函数，
所以，解得
又为偶函数，所以，即，解得：a=-1.
所以.
故选：B
2、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题
3、A
【解析】由点是由线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，作的平行线，把中、所满足的不等式表示出来，然后作出不等式组所表示的可行域，并计算出可行域在直线的右下侧部分的面积即可.
【详解】如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，

设，，，，
则，
所以，得，所以.
作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，

故所求面积为，故选：A.
【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系，考查转化思想，是难题.解决本题的关键是建立、的不等式组，将问题转化为线性规划问题求解.
4、B
【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.
【详解】由题意可知，即
故选：B.
5、C
【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，
所以，函数在和上均为增函数.
对于A选项，当时，，，此时，，
所以，函数在上无零点；
对于BCD选项，当时，，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
6、A
【解析】根据指数函数的单调性可解决此题
【详解】解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故选：A
7、C
【解析】先根据对数的运算得到，再用基本不等式求解即可.
【详解】由对数式有意义可得，由对数的运算法则得，所以，结合，可得，所以，当且仅当时取等号，所以.
故选：.
8、D
【解析】利用三角函数的周期性求解.
【详解】A.周期为，
B.的周期为，
C.的周期为，
D.的周期为，
故选：D
9、A
【解析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.
【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，
当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，
故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件.
故选：A.
10、B
【解析】列举出符合条件的集合，即可得出答案.
【详解】满足的集合有：、、.
因此，满足的集合的个数为.
故选：B.
【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（3）（4）
【解析】对于（1）对角取特殊值即可验证；对于（2）采用数形结合即可得到答案；对于（3）把函数进行化简为关于的函数，再利用基本不等式即可得到答案；对于（4）用整体的思想，求出单调增区间为，再让即可得到答案.
【详解】对于（1），当，当，不满足是的必要条件，故（1）错误；
对于（2），函数的最小正周期为，故（2）错误；
对于（3），，
当且仅当等号成立， 故（3）正确；
对于（4）函数的单调增区间为，
若在上单调递增，则，又，
故（4）正确.
故答案为：（3）（4）.
12、
【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，
故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，
故答案为x2+（y+2）2=25
13、
【解析】求得函数的最小正周期为，进而计算出的值（其中），再利用周期性求解即可.
【详解】函数的最小正周期为，
当时，，，
，，
，，
所以，，
，因此，.
故答案为：.
14、
【解析】
根据正弦函数图象的对称性求解．
【详解】依题意可知，
得，
所以，
故当时，取得最小值.
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的对称性．正弦函数的对称轴方程是，对称中心是
15、
【解析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.
【详解】设
扇形的半径为,是扇形的接矩形
则

,所以
则
所以

因为,所以
所以当时, 取得最大值
故答案为:
【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.
16、##
【解析】利用分段函数的解析式，代入求解.
【详解】因为函数
所以
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），
【解析】（1）由条件利用线段的中点公式求得点C的坐标；（2）求得线段AC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式、斜率公式求得AC边上的中线BD的长及直线BD的斜率
试题解析：（1）设,

考点：1.待定系数法求直线方程；2.中点坐标公式
18、（1）
（2）或
（3）存在，
【解析】（1）由题意，将代入可得答案.
（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.
（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.
【小问1详解】
由题意，，所以
【小问2详解】
由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，
设，作出函数在上的图像（如下图）

，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数k的取值范围是或
【小问3详解】
记，
其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，
若存在实数m，使得的值域为，
则，即a，b是方程的两个不等正根，
即a，b是的两个不等正根，
所以解得，所以实数m的取值范围是.
【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.
19、（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）
【解析】（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；
（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；
（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.
【详解】解：（1），定义域为，
则有，
显然存在正实数，对任意的，总有，
故具有性质；
，定义域为，
则，
当时，，
故不具有性质；
（2）假设二次函数不是偶函数，
设，其定义域为，
即，
则，
易知，是无界函数，
故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，
故是偶函数；
（3）的定义域为，

，
具有性质，
即存在正实数k，对任意的，总有，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
通过对比解得：，
即.
【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据为等腰直角三角形可求解
（2）根据三角函数定义分别得到、的坐标，再代入中可求解
【小问1详解】
由题意可知周期，
所以，，
为等腰直角三角形，所以.
【小问2详解】
由（1）可得，所以，
，所以，
点，都落在曲线（）上，所以
可得，，，
可得，，
由，得，（），所以.
21、（1）13；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据指数和对数的运算法则直接计算可得；
（2）根据对数函数的单调性分别求出范围和范围可判断.
【详解】（1）原式
（2）因为在上递减，在上递增，
所以，，
故
因为，
且在递增，
所以，即
所以，即
【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，解题的关键是利用对数函数的单调性求出范围，进而可比较大小.