广东深圳华师附中2025-2026学年高一数学第一学期期末达标测试试题含解析.doc

广东深圳华师附中2025-2026学年高一数学第一学期期末达标测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则的值为（ ）
A.3 B.6
C.9 D.
2．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A.5 B.6
C.8 D.10
3．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂
足．若，则到平面的距离等于

A. B.
C. D.1
4．若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．
A. B.
C.1 D.
6．已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，且，则 D.若，且，则
7．已知函数是偶函数，且，则（）
A. B.0
C.2 D.4
8．当时，，则a的取值范围是
A.(0，) B.(，1)
C.(1，) D.(，2)
9．已知是的三个内角，设，若恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.

12．若在内有两个不同的实数值满足等式，则实数k的取值范围是_______
13．已知直线，互相平行，则__________.
14．若实数x，y满足，则的最小值为___________
15．已知，则_______.
16．在中，，，则面积的最大值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，且.
（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.
18．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围
19．设函数，其中
（1）若当时取到最小值，求a的取值范围
（2）设的最大值为，最小值为，求的函数解析式，并求的最小值
20．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
求二面角的正切值；
求三棱锥的体积

21．已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】直接由对数与指数的互化公式求解即可
【详解】解：由，得，
故选：A
2、C
【解析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
3、C
【解析】如图，在平面内过点作于点

因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离
在中，因为，所以
因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C
4、A
【解析】利用二元二次方程表示圆的条件及点与圆的位置关系即得.
【详解】由圆，可知圆，
∴，
又∵直线，即，恒过定点，
∴点在圆的内部，
∴，即，
综上，.
故选：A.
5、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
6、A
【解析】根据不等式的性质判断
【详解】若，显然有，所以，A正确；
若，当时，，B错；
若，则，当时，，，C错；
若，且，也满足已知，此时，D错；
故选：A
7、D
【解析】由偶函数定义可得，代入可求得结果.
【详解】为偶函数，
，
，

故选：D
8、B
【解析】分和两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】当时，显然不成立.
若时

当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.
【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.
9、D
【解析】先化简
，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，故选D.
考点：三角函数二倍角公式、降次公式；
10、A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可
【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A
考点：三角函数的性质.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】该几何体是一个半圆柱，如图，其体积为.

考点：几何体的体积.
12、
【解析】讨论函数在的单调性即可得解.
【详解】函数，
时，单调递增，
时，单调递减，
，，，
所以在内有两个不同的实数值满足等式，
则，
所以.
故答案为：
13、
【解析】由两直线平行的充要条件可得：，
即：，解得：，
当时，直线为：，直线为：，两直线重合，不合题意，
当时，直线为：，直线为：，两直线不重合，
综上可得：.
14、
【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案
【详解】由题意，
得：，
则（当且仅当时，取等号）
故答案为：
15、
【解析】
将条件平方可得答案.
【详解】因为，所以，所以
故答案为：
16、
【解析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得，得均为锐角，设边上的高为，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面积最大值
【详解】中，，
所以，整理得，
即，所以均为锐角，
作于，如图，记，则，，
所以，，当且仅当即时等号成立．所以，
的最大值为
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）..（2）
【解析】
（1）由求得，作出函数图象可知的范围；
（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论．
【详解】（1）因为，所以.
函数大致图象如图所示

令，得.
故有3个不同的零点.
即方程有3个不同的实根.
由图可知.
（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.
因为，且函数在区间上为增函数，
所以可得，解得.
所以实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题．
18、.
【解析】要使不等式恒成立，只需求的最小值，将展开利用基本不等式可求解.
【详解】由，则
当且仅当即时取到最小值16
若恒成立，则
点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.
19、（1）
（2），最小值为.
【解析】（1）求得函数的导数，令，要使得函数在取到最小值，则函数必须先减后增，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）知，若时，得到函数在上单调递减，得到；若时，令，求得，分，，
三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
令，
要使得函数在取到最小值，则函数必须先减后增，
则满足，解得，
即实数取值范围为.
【小问2详解】
解：由（1）知，设，
若时，即时，，即，函数在上单调递减，
所以，可得；
若时，即时，
令，即，解得或，
①当时，即时，在恒成立，即，
可得函数在上单调递增，所以，可得；
②当时，即时，在恒成立，即，
可得函数在上单调递减，所以，
可得；
③当时，即时，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，即，
又由，可得，
（i）当时，，即，所以，
此时；
（ii）当时，，即，所以，
此时，
综上可得，函数的解析式为，
当时，；
当时，；
当时，令，则，可得，
根据二次函数的性质，可得当时，函数取得最小值，最小值为；
当时，令，则，可得，
则，
综上可得，函数的最小值为.
20、（1）2（2）
【解析】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值
三棱锥的体积，由此能求出结果
【详解】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，
由正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且
以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则3，，0，，0，，0，，
所以0，，3，，
其中平面ABD的法向量1，，
设平面的法向量y，，则，
取，得1，，
设二面角的平面角为，则，则，
则，所以二面角的正切值为2
由（1）可得平面，所以是三棱锥的高，且,
所以三棱锥的体积：

【点睛】本题主要考查了二面角的求解，及空间几何体的体积的计算，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解二面角问题是求解空间角的常用方法，同时注意“等体积法”在求解三棱锥体积中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解.
（2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围.
【小问1详解】
由题设，令，则，
∴，可得或（舍），
∴，故的零点为.
【小问2详解】
由，则，即在上恒成立，
∵在上均递减，
∴在上递减，则，
∴k的取值范围为.