上海市静安区市级名校2025年数学高二第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

上海市静安区市级名校2025年数学高二第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（）
A.51 B.68
C.106 D.157
2．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.1 B.0
C.−1 D.−3
3．已知椭圆的上下顶点分别为，一束光线从椭圆左焦点射出，经过反射后与椭圆交于点，则直线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
4．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）

A. B.
C.8 D.12
5．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．已知数列是公差为等差数列，，则（ ）
A.1 B.3
C.6 D.9
7．函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.e
8．如图，在平行六面体中，（）

A. B.
C. D.
9．已知抛物线过点，点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则点与原点间的距离的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则的值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
12．函数在处的切线方程为()
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线、，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________
14．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.
15．已知正方形的边长为2，对部分以为轴进行翻折，翻折到，使二面角的平面角为直二面角，则___________.
16．已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.
（1）求证：数列{-5000}为等比数列；
（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？
18．（12分）在数列中，，且成等比数列
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，证明：
19．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点
（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；
（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程
20．（12分）设数列的前项和为，，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切正整数，有.
21．（12分）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
22．（10分）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】对高阶等差数列按其定义逐一进行构造数列，直到出现一般等差数列为止，再根据其递推关系进行求解.
【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，
各项与前一项之差：，，，，，…
即2，3，6，11，18，…，
，，，，…
即1，3，5，7，…是等差数列，
所以，
故选：C
2、B
【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案
【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故选：B

3、B
【解析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD的方程，进而求出点D的坐标计算作答.
【详解】依题意，椭圆的上顶点，下顶点，左焦点，右焦点，
由椭圆的光学性质知，反射光线AD必过右焦点，于是得直线AD的方程为：，
由得点，则有，
所以直线的斜率为.
故选：B
4、B
【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意知，
该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，
正三角形的边长为：，
正三角形边上的一条高为：，
所以一个正三角形的面积为：，
所以多面体的表面积为：.
故选：B
5、A
【解析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：A.
6、D
【解析】结合等差数列的通项公式求得.
【详解】设公差，.
故选：D
7、A
【解析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
8、B
【解析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量
【详解】
连接，可得，又，
所以
故选：B.
9、B
【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求得抛物线的方程，求出的坐标，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质可求得点与原点间的距离的最小值.
【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得，可得，
故抛物线的方程为，易知点，
由中垂线的性质可得，
则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
故点的轨迹方程为，如下图所示：

由图可知，当点、、三点共线且在线段上时，取最小值，
且.
故选：B.
10、D
【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D
11、C
【解析】根据椭圆定义，和条件列式，再通过变形计算求解.
【详解】由条件可知，
，
即，解得：.
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
12、C
【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒
【详解】，
，，
，
在处的切线为：，即﹒
故选：C﹒

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围.
【详解】根据条件可知，
以为直径的圆与椭圆没有交点，即
，
即，
，即.
故填：.
【点睛】本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
14、
【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.
【详解】由直线可得，
所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，
令可得；令可得；即，，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得.
故答案为：.
15、-2
【解析】根据，则，根据条件求得向量夹角即可求得结果.
【详解】由题知，，取的中点O，连接，如图所示，

则，又二面角的平面角为直二面角，
则，又，
则，为等边三角形，从而，
则，
故答案为：-2
16、
【解析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.
【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）足够
【解析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；
（2）由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.
【小问1详解】
依题意，第1个月底股票市值

则
又
∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知
∴
∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.
18、（1）证明见解析；；（2）证明见解析
【解析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，，成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可
【详解】证明：（1）由，得，即，
所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，
因此，，，
由成等比数列，得，即，
解得或（舍去），故
（2）因为，
所以
因为，所以
【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解
（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径
【小问1详解】
∵圆C：，
∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，
∵直线y＝x，即x－y＝0，
∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，
∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝
【小问2详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，
∴x2－2x－7＝0，
则，|x1－x2|＝＝，
∴圆心的横坐标为x＝，
∵圆心在直线y＝x+1上，
∴圆心为(1,2)，
∴半径r＝，
故圆M的方程为
20、（1），；
（2）证明见解析.
【解析】（1）利用关系可得，根据等比数列的定义易知为等比数列，进而写出的通项公式；
（2）由，将不等式左侧放缩，即可证结论.
【小问1详解】
当时，，，两式相减得：，
整理可得：，而，
所以是首项为2，公比为1的等比数列，故，即，.
【小问2详解】
，
.
.
21、（1）
（2）
【解析】(1)利用等差数列的性质可得 ,联立方程可得 ,代入等差数列的通项公式可求;
(2)代入等差数列的前和公式可求,进一步可得,然后结合等差数列的定义可得,从而可求.
【详解】（1）为等差数列，，
又
是方程的两个根，

（2）由（1）可知，

为等差数列，
舍去)
当时，为等差数列，满足要求
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前项和公式的综合运用,属于中档题.
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.
（2）根据三角函数的单调性即可求解.
【小问1详解】

，
，
解得，
所以函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1），
解得
函数的单调递减区间为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以函数的最大值为.