2025-2026学年湖南省十四校数学高二上期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省十四校数学高二上期末复习检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则的值为（ ）
A.或 B.或
C.1 D.－1
2．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
3．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数f（x）的导函数，若，对，且．总有，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．设集合 ，则 A B =（ ）
A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
6．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元）内，其中支出在（单位：元）内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）

A.100 B.120
C.130 D.390
7．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A. B.2
C. D.
8．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()
A. B.
C. D.
9．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A. B.
C D.
10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
11．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.6 B.8
C.9 D.10
12．已知双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在棱长为2的正方体中，点P是直线上的一个动点，点Q在平面上，则的最小值为________.
14．若、是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
15．数列的前n项和满足：，则________
16．已知是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.

（1）求与平面所成角的大小；
（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.
19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值
20．（12分）已知数列满足，，，n为正整数.
（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；
（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；
（3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；
21．（12分）在如图所示的几何体中，四边形是平行四边形，，，，四边形是矩形，且平面平面，，点是线段上的动点

（1）证明：；
（2）设平面与平面的夹角为，求的最小值
22．（10分）如图，在四棱柱中，，，，四边形为菱形，在平面ABCD内的射影O恰好为AD的中点，M为AB的中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】求出函数的导数，由方程求解即可.
【详解】，
，
解得或，
故选：B
2、B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
3、C
【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.
【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，
故A不正确；
对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，

由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；
，表示点与点连线的斜率，
由图可知，所以C正确，
同理，由图可知，故D不正确.
故选：C
4、B
【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.
【详解】因为，故可得，则，
又，令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，又，
故在区间上的最小值为.
故选：.
5、B
【解析】按交集定义求解即可.
【详解】
A B={2，3}
故选：B
6、A
【解析】根据小矩形的面积之和，算出位于 10 ～ 30 的2组数的频率之和为0.33 , 从而得到位于30 ～ 50的数据的频率之和为1-0.33 = 0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量的值.
【详解】位于10 ～ 20 、20 ～ 30 的小矩形的面积分别为

位于 10 ～ 20、20 ～ 30 的据的频率分别为0.1 、0.23
可得位于10 ～ 30的前3组数的频率之和为0.1+0.23 = 0.33
由此可得位于30 ～ 50数据的频率之和为1-0.33 = 0.67
∵支出在 [ 30 , 50 ) 的同学有 67人,即位于30～ 50的频数为67，
∴根据频率计算公式，可得解之得.
故选：A
7、A
【解析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.
【详解】由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，
设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，
所以，且，则，，所以，所以，
则在中，可得，，即，解得，所以，
故选：A

【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量
8、A
【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，半径，
∴圆方程为﹒
故选：A﹒
9、A
【解析】由椭圆的定义可得；
利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号.
【详解】根据椭圆的定义可知，，即，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故选：A
10、D
【解析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.
【详解】设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点M的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当M在位置或时等号成立.
故选：D

11、A
【解析】计算抛物线的准线，根据距离结合抛物线的定义得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.
故选：A.
12、B
【解析】根据双曲线的离心率，求出即可得到结论
【详解】∵双曲线的离心率是，
∴，即1+，
即1，则，
即双曲线的渐近线方程为，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】数形结合分析出的最小值为点到平面的距离，然后利用等体积法求出距离即可.
【详解】
因为，且平面，平面，所以平面，所以的最小值为点到平面的距离，设到平面的距离为，
则，所以，
即，解得，
故答案为：.
14、
【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.
【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，
A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则，即，
∴
由，则，已知，
在△F1AF2中应用余弦定理得：，
得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝
故答案为：
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.
15、
【解析】利用“当时，；当时，"即可得出.
【详解】当时，
当时，，不适合上式，
数列的通项公式.
故答案为：.
16、
【解析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用，及渐近线方程即可求得结果.
【详解】延长交于点，∵是的平分线，
，，
又是中点，所以，且，
又，
，，又，

双曲线E的渐近线方程为
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）存在，距离为
（3）位置答案见解析，
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，然后由线面角的定义得到PC与平面PAD所成的角为，在中，由边角关系求解即可.
（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不放设，则，再根据得，进而得答案.
（3）延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'E，过E作于E'，利用三点共线，两线段和最小，得到，过H作于H'，连结HB，在中，求解HB即可.
【小问1详解】
解：因为平面，平面，所以，
又因为底面 是矩形，所以，
又平面，
所以平面，
故与平面所成的角为，
因为，，
所以
故直线PC与平面PAD所成角的大小为；
【小问2详解】
解：假设BC边上存在一点G满足题设条件，
不妨设，则
因为平面，到平面的距离为
所以，即
因为
代入数据解得，即，
故存在点G，当时，使得点D到平面PAG的距离为；
【小问3详解】
解：延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'E，过E作于E'，
则，
当且仅当三点共线时等号成立，
故，
过H作于H'，连结HB，
在中，，，
所以.

18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①，
②，又③，
由①②③解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，
由，得，
所以，从而，，
直线的斜率为，故直线的方程为.
令，得，
直线斜率.
所以直线的斜率为定值.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
19、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据周长为8，求得a，再根据离心率求解；
（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.
【小问1详解】
解：∵的周长为8，
∴，即，
∵离心率，
∴，，
∴椭圆C的标准方程为
【小问2详解】
方法一：设，
则直线斜率，∵，
∴直线斜率，
∴直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
联立上面两直线方程，消去y，得，
∵在椭圆上，
∴，即，
∴，
∴
所以与的面积之比为定值4
方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，
则直线的方程为，
∵，∴直线的方程为，
将代入，得，
∵P是椭圆上异于点，的点，
∴，
又∵，即，
∴，即，
由，得直线的方程为，
联立得，
∴
所以与的面积之比为定值4
20、（1）证明见解析；
（2）证明见解析 （3）
【解析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；
（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论；
（3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果.
【小问1详解】
由已知可知，显然有 ，否则数列不可能是等比数列；
因为，，故可得 ，
由 得： ，
即有 ，所以数列等比数列，
且 ；
【小问2详解】
假设存在，，成等差数列，
则 ，即，
整理得，即 ，
而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，
故数列中的任意三项，，都不成等差数列；
【小问3详解】
关于正整数n的不等式，即，
当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，，
并且当 时，，
因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，
故 .
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）要证，只需证平面，
只需证（由勾股定理可证），，
只需证平面，
只需证（由平面平面可证），（由可证），
即可证明结论.
（2）以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
写出点与点的坐标
由于轴，可设，可得出与的坐标
设为平面的法向量，
求出法向量.是关于的一个式子，
求出的取值范围，
即可求出的最小值
【小问1详解】
在中，，，，
所以，
所以
所以是等腰直角三角形，即
因为，
所以
又因为平面平面，平面平面，，
所以平面
又平面，
所以
又因为，EC，平面
所以平面
又平面，
所以，所以
在中，，，
所以
所以
又因为，，
所以，所以
又，，平面
所以平面
又平面，
所以
【小问2详解】
以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系

则，
因为轴，可设，
可求得，
设为平面的法向量
则
令，解得，所以
又因为是平面的法向量
所以，
因为，所以
所以当时，取到最小值
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先证明，，即可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为O为在平面ABCD内的射影，
所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以.
如图，连接BD，在中，.

设CD的中点为P，连接BP，
因为，，，
所以，且，则.
因为，
所以，
易知，所以.
因为平面，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面ABCD，
所以可以点O为坐标原点，以OA，，所在直线分别为x，z，以平面ABCD内过点O且垂直于OA的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以,,，，
设平面的法向量为，，，
则可取平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，，，
则
令，得平面的一个法向量为.
设平面与平面的平面角为，
由法向量的方向可知与法向量的夹角大小相等，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.