2026届河北省保定市博野中学数学高二上期末教学质量检测试题含解析.doc

2026届河北省保定市博野中学数学高二上期末教学质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率
A. B.
C. D.
2． “”是“函数在上有极值”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
4．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（）
A. B.
C. D.
5．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
6．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）
A.1 B.2
C.4 D.8
7．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A.130 B.132
C.140 D.144
8．已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为
A. B.
C. D.
9．直线的倾斜角为（　　）
A. B.
C. D.
10．已知，，若，则（ ）
A.6 B.11
C.12 D.22
11．椭圆的长轴长为（）
A. B.
C. D.
12．下列说法正确的个数有（ ）个
①在中，若，则
②是，，成等比数列的充要条件
③直线是双曲线的一条渐近线
④函数的导函数是，若，则是函数的极值点
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，，是线段上的点，，若的面积为，当取到最大值时，___________.
14．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______
15．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.
16．在数列中，若，则该数列的通项公式__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆，直线
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）过点作圆C的切线，求切线的方程
18．（12分）已知椭圆C：，斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点且
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求直线l的方程
19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分别为AB和PC的中点

（1）求证：MN//平面PAD；
（2）求平面MND与平面PAD的夹角的余弦值
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.请用空间向量知识解答下列问题：

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
21．（12分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题
（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题
22．（10分）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.
【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件
则；

本题正确选项：
【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.
2、B
【解析】对求导，取得函数在上有极值的等价条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】解：，则，
令，可得，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在处取得极小值，
若函数在上有极值，则，，
因为，但是由推不出，
因此是函数在上有极值的必要不充分条件
故选：B
3、B
【解析】先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.
【详解】“若a=0，则ab=0”，命题为真，则其逆否命题也为真；
逆命题为：“若ab=0，则a=0”，显然a=1，b=0时满足ab=0，但a≠0，即逆命题为假，则否命题也为假.
故选：B.
4、D
【解析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.
【详解】对于A：若，则必成立；
对于B：若，则必成立；
对于C：若，则必成立；
对于D：由不能得出，所以不可能是.
故选：D
5、C
【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.
【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，
分别于联立，解得：，，
所以中点坐标为，
因为点满足，
所以，
所以，即，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
6、C
【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
7、A
【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,
【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，
所以 ，
故，
故选:A.
8、D
【解析】设，则，.
所以当时，的最小值为.
故选D.
9、D
【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.
【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，
∴.
故选：D
10、C
【解析】根据递推关系式计算即可求出结果.
【详解】因为，，，
则，，，
故选：C.
11、D
【解析】由椭圆方程可直接求得.
【详解】由椭圆方程知：，长轴长为.
故选：D.
12、B
【解析】根据三角函数、等比数列、双曲线和导数知识逐项分析即可求解.
【详解】①在中，则有，因，所以，又余弦函数在上单调递减，所以，故①正确，
②当且时，此时，但是，，不成等比数列，故②错误，
③由双曲线可得双曲线的渐近线为，故③错误，
④“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故④错误.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由三角形面积公式得出，设，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等号成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.
【详解】由题意可得，解得，
设，则，可得，

由基本不等式可得，
当且仅当时，取得最大值，，，由余弦定理得，
解得．故答案为
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14、4
【解析】可设为第一象限的点，，，求出，，化简即得解.
【详解】解：可设为第一象限的点，，，
由椭圆定义可得，
由双曲线的定义可得，
可得，，
由，可得，
即为，
化为，
则
故答案为：4
15、
【解析】令则，
∴在R上是减函数
又等价于
∴
故不等式的解集是
答案：
点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数
16、
【解析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.
【详解】解：由在数列中，若，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
由等比数列通项公式可得，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）相交.（2）或.
【解析】（1）先判断出直线恒过定点(2，1) ，由(2，1)在圆内，即可判断；
（2）分斜率存在与不存在两种情况，利用几何法求解.
【小问1详解】
直线方程，即，则直线恒过定点(2，1).因为，则点(2，1)位于圆的内部，故直线与圆相交.
【小问2详解】
直线斜率不存在时，直线满足题意；
②直线斜率存在的时候，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得: ，则直线方程为：.
综上可得，直线方程或.
18、（1）
（2）或
【解析】（1）将椭圆化为标准方程，求得，进而求得离心率；
（2）设直线，，，与椭圆联立，借助韦达定理及弦长公式求得，从而求得直线方程.
【小问1详解】
由题知，椭圆C：，
则，离心率
【小问2详解】
设直线，，
联立，化简得，
则，解得，
，
由弦长公式知，
，
解得，
故直线或
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）在平面中构造与平行的直线，利用线线平行推证线面平行即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，利用向量法即可求得两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取中点为，连接，如下所示：

因为为正方形，为中点，故可得//；
在△中，因为分别为的中点，故可得//；
故可得//，则四边形为平行四边形，即//，
又面面，故//面.
【小问2详解】
因为面面，故可得，
又底面为正方形，故可得，则两两垂直；
故以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系如下所示：

故可得，
设平面的法向量为，又
则，即，不妨取，则，则，
取面的法向量为，
故.
设平面的夹角为，故可得，
即平面MND与平面PAD的夹角的余弦值为.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的大小.
【小问1详解】
证明：底面，，故以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
所以，，，，
则，，即，，
又，所以，平面.
【小问2详解】
解：知，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，可得，
设平面的法向量为，由，，
即，令，可得，
，
因此，平面与平面夹角的大小为.
21、（1）（2）
【解析】首先用列举法，求得甲、乙两人各抽一题的所有可能情况.
（1）根据上述分析，分别求得“甲抽到判断题，乙抽到选择题
（2）根据上述分析，求得“甲、乙两人都抽到判断题”的概率，根据对立事件概率计算公司求得“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题
【详解】把3个选择题
因此基本事件的总数为.
（1）记“甲抽到选择题
（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题
【点睛】本小题主要考查互斥事件概率计算，考查对立事件，属于基础题.
22、（1），2 （2）
【解析】（1）结合，联立即得解；
（2）由题意，即得解.
【详解】（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：